Matematiğin kıyısında bir yerlerde, anlayışımızın temellerini kıracak kadar büyük bir sayı gizleniyor ve 2025’te onu bulmaya bir adım daha yaklaştık.
Sayılar büyüdüğünde işler tuhaflaşıyor
2025 yılında, çevrimiçi Busy Beaver Challenge topluluğunun üyeleri, konunun mantıksal temellerine meydan okumakla tehdit eden çok sayıda olaya yaklaştığında matematiğin sınırları biraz daha keskin bir şekilde ortaya çıktı.
Bu sayı, görünüşte basit bir sorudan ortaya çıkan, giderek daha büyük sayılar dizisi olan “Meşgul Kunduz” dizisindeki bir sonraki sayıdır: Bir bilgisayar programının sonsuza kadar çalışıp çalışmayacağını nasıl bilebiliriz?
Bunu öğrenmek için araştırmacılar, Turing makinesi adı verilen basitleştirilmiş bir cihazın hayal edilmesiyle herhangi bir bilgisayar algoritmasının taklit edilebileceğini gösteren matematikçi Alan Turing’in çalışmasına başvuruyorlar. Daha karmaşık algoritmalar, daha büyük talimat kümelerine veya matematiksel ifadeyle daha fazla duruma sahip Turing makinelerine karşılık gelir.
Her Meşgul Kunduz sayısı BB(n), n durumlu bir Turing makinesi için mümkün olan en uzun çalışma süresini yakalar. Örneğin BB(1) 1 ve BB(2) 6’dır; dolayısıyla algoritmayı iki kat daha karmaşık hale getirmek, çalışma süresini altı kat artırır. Ancak bu artışın hızının aşırı olduğu ortaya çıkıyor, örneğin beşinci Meşgul Kunduz sayısı 47.176.870.
Meşgul Kunduz Mücadelesi üyeleri, BB(5)’in 2024’teki kesin değerini belirledi ve bu, beş durumlu tüm Turing makinelerini incelemek için 40 yıllık bir çabayı sona erdirdi. Dolayısıyla doğal olarak 2025 yılına BB(6)’nın kolektif kovalamacası damgasını vurdu.
Temmuz ayında mxdys olarak bilinen bir üye, boyutunda bir alt sınır keşfetti ve bu sayının yalnızca BB(5)’ten çok daha büyük olduğu değil, aynı zamanda evrenimizdeki parçacık sayısıyla karşılaştırıldığında gerçekten muazzam olduğu ortaya çıktı.
Tüm rakamları yazmak fiziksel olarak imkansızdır, bu nedenle matematikçiler bunun yerine tetrasyon adı verilen bir tür gösterim kullanırlar. Bu, bir sayıyı tekrar tekrar daha yüksek bir kuvvete yükseltmeye eşdeğerdir; örneğin, 2’nin dörtlü kuvveti 2’ye yükseltilmiş 2 eşittir 2’nin kuvveti 2’ye yükseltilmiş, yani 16. BB(6) en az 2 dörtlü ila 2 dörtlü ila 2 dörtlü ila 9’dur, tekrarlanan tetratasyonun devasa bir kulesidir.
BB(6)’yı saptamak sadece rekorlar kırma meselesi olmayacak, aynı zamanda matematiğin tamamı için de derin etkileri olabilir. Bunun nedeni Turing’in, tüm standart modern matematiğin üzerinde durduğu temeli oluşturan ZFC teorisi adı verilen bir dizi aksiyom altında davranışları tahmin edilemeyen bazı Turing makinelerinin olması gerektiğini kanıtlamasıdır.
Araştırmacılar şimdiden BB(643)’ün ZFC teorisinden kaçabileceğini kanıtladılar, ancak bunun daha küçük sayılar için gerçekleşip gerçekleşmeyeceği açık bir soru; Meşgul Kunduz Mücadelesi’nin yanıtlamaya katkıda bulunabileceği bir soru.
Temmuz ayında altı durumu olan ancak durma davranışı henüz kontrol edilmemiş 2728 Turing makinesi vardı. Ekim ayına gelindiğinde bu sayı 1618’e düştü. 2022’de Busy Beaver Challenge’ı başlatan bilgisayar bilimcisi Tristan Stérin, “Topluluk şu anda son derece aktif” diyor.
Uzatma makinelerinden biri BB(6)’nın kesin değerinin anahtarını tutabilir. Bunlardan birinin bilinemez olduğu ortaya çıkabilir ve ZFC çerçevesinin ve modern matematiğin büyük kısmının sınırları ortaya çıkabilir. Gelecek yıl boyunca, dünya çapındaki matematik meraklıları kesinlikle bunların hepsini anlamaya çalışarak yoğun bir şekilde çalışacaklar.
