Bazı sayılar o kadar büyüktür ki, modern matematiğin sınırlarına meydan okuyorlar ve şimdi matematikçiler bu tuhaf uçurumun kenarını işaretleyebilecek bir sayıya yaklaşıyorlar
Kenarda ne gizlenir?
Amatör matematikçiler hayal edilemeyecek kadar büyük bir sayıya yaklaşıyorlar – biri o kadar büyük ki, modern matematik çerçevesinde bile bilinen şeyin kenarına fırçalıyorlar.
Her şey görünüşte basit bir sorudan kaynaklanıyor: Bir bilgisayar programının sonsuza kadar çalışıp çalışmayacağını nereden biliyorsunuz? Bunu cevaplamak matematikçi Alan Turing ile başlar. 1930’larda, herhangi bir bilgisayar algoritmasının, daha fazla durum gerektiren daha karmaşık algoritmalarla, durum adı verilen bir dizi talimatı takip ederek 0’ları ve 1’leri sonsuz uzun bir bantta okuyan ve yazan basit bir “Turing Makinesi” hayal ederek taklit edebileceğini gösterdi.
5 veya 100 gibi her sayıda eyalet için, sonlu birçok Turing makinesi vardır, ancak bu makinelerin her birinin ne kadar çalışması gerektiği belirsizdir. Her durum için mümkün olan en uzun çalışma süresine yoğun kunduz numarası veya bb (n) denir ve bu dizi inanılmaz derecede hızlı bir şekilde büyür: BB (1) 1, BB (2) 6, ancak beşinci meşgul kunduz numarası 47.176.870’dir.
Bir sonraki yoğun kunduz numarasının kesin değeri olan Altıncı, bilinmiyor, ancak Meşgul Beaver Challenge adlı çevrimiçi bir topluluk onu keşfetmeye çalışıyor-2024’te BB’yi (5) ortaya çıkardılar ve 40 yıllık bir aramaya son verdiler. Şimdi, “MXDYS” olarak bilinen bir üye, en azından o kadar büyük bir sayı kadar büyük olması gerektiğini keşfetti, bunu tanımlamak bile bazı açıklamalar gerektiriyor.
Bir yazılım mühendisi ve meşgul Beaver Challenge katkıda bulunan Shawn Ligocki, “Bu sayı fiziksel değil, komik bile değil” diyor. Aramayı, olası tüm Turing makineleri aracılığıyla, sadece garip, egzotik kod parçalarının karanlıkta yüzdüğü derin matematiksel denizde balık tutma ile karşılaştırır.
BB (6) için yeni sınır, üslemeyi aşan matematiksel bir dil gerektirecek kadar büyüktür – bir sayı n’yi başka bir x veya n’nin gücüne yükseltme uygulamasıX2 aramak gibi, yani 2*2*2 = 8. İlk olarak, bazen tetrasyon var, bazen Xn, yinelenen üslemeyi içerir, bu yüzden 32, 2’nin 2 gücüne, 16’ya eşit olan 2 gücüne yükseltilecektir.
Dikkat çekici bir şekilde, MXDYS, Bb (6) ‘nın en az 2’ye, her tetrasyonun yinelenmiş bir üssü kulesi olduğu, yinelenen bir tetrasyon kulesi olan 9’a kadar 2’ye kadar tetred olduğunu göstermiştir. Ligocki, evrendeki tüm parçacıkların sayısı karşılaştırıldığında cılız görünüyor.
Ancak meşgul kunduz numaraları sadece saçma boyutları nedeniyle önemli değildir. Turing, tüm standart modern matematiğin altını çizen bir temel olan ZFC teorisi altında davranışları tahmin edilemeyen bazı Turing makineleri olması gerektiğini kanıtladı. ZFC kurallarının teorinin kesinlikle tüm çelişkilerden kurtulduğunu kanıtlamak için kullanılamayacağını gösteren matematikçi Kurt Gödel’in “eksiklik teoreminden” esinlenmiştir.
Austin’deki Texas Üniversitesi’nde Scott Aaronson, “Meşgul kunduz numaralarının incelenmesi, Gödel ve Turing tarafından yaklaşık bir asır önce nicel ve beton tarafından keşfedilen fenomenleri yapıyor” diyor. “Sadece Turing makinelerinin ZFC’nin bir sonlu noktadan sonra davranışlarını belirleme yeteneğinden kaçınması gerektiğini söylemek yerine, şimdi sorabiliriz, bu zaten 6 devletli makinelerle mi yoksa sadece 600 devletli makinelerle mi oluyor?” Araştırmacılar şimdiye kadar BB’nin (643) ZFC teorisinden kaçacağını kanıtladılar, ancak daha küçük sayıların çoğu henüz araştırılmadı.
2022’de Meşgul Beaver Challenge’ı başlatan bilgisayar bilimcisi Tristan Stérin, “Meşgul kunduz sorunu size matematiksel bilginin sınırını düşünmek için çok somut bir ölçek veriyor” diyor.
2020’de Aaronson, yoğun kunduz işlevinin “muhtemelen ilk yüz değerlerinde tüm ilginç matematiksel gerçeğin büyük bir bölümünü kodladığını” ve BB (6) ‘nın bir istisna olmadığını yazdı. Sıralar üzerinde basit aritmetik işlemlerin tekrarlanmasını ve sonunda 1 olup olmadığını gören ünlü çözülmemiş bir matematik problemi olan Collatz varsayımı ile ilişkili gibi görünüyor. Böyle bir makinenin durduğu tespit edilirse, varsayımın bir versiyonu için hesaplama kanıtının olduğunu gösterir.
Araştırmacıların ele aldığı sayılar büyüklükleri inanılmazdır, ancak yoğun kunduz çerçevesi, aksi takdirde anlaşılmaz bir matematik bölgesi olacak bir metre çubuk sağlar. Stérin’in görüşüne göre, çoğu akademisyen olmasa da, katkıda bulunanların çoğunu kancalı tutan şey budur. Şu anda sürekli olarak BB’yi bulmak için çalışan birkaç düzine olduğunu tahmin ediyor (6).
Halen durma davranışı kontrol edilmeyen birkaç bin “bekletme” Turing makinesi var. “Köşede, bilinmeyen bir makine olabilir,” diyor Ligocki, yani ZFC’den ve modern matematiğin sınırlarının ötesinde.
BB’nin (6) tam değeri de köşede olabilir mi? Ligocki ve Stérin, Meşgul Beaver’ın geleceğini tahmin etmekten daha iyi bildiklerini söylüyorlar, ancak sayıyı sınırlamadaki son başarı, Ligocki’ye “daha fazlası olduğu sezgisi” veriyor.
