Matematikçiler dönmenin nasıl çalıştığını anladıklarını düşünüyorlardı, ancak şimdi yeni bir kanıt, karmaşık bir hareket dizisini bile sıfırlamayı mümkün kılan şaşırtıcı bir dönüşü ortaya çıkardı.
Dönen topuzu geri alabilir misin?
Bir tepeyi döndürdüğünüzü ve ardından dinlenmeye bıraktığınızı hayal edin. Tepeyi tekrar döndürüp, sanki hiç döndürmemişsiniz gibi, tam olarak başladığı konuma gelmesini sağlamanın bir yolu var mı? Şaşırtıcı bir şekilde, evet, neredeyse her nesnenin dönüşünü geri almak için evrensel bir tarif keşfeden matematikçiler diyor.
Sezgisel olarak, karmaşık bir dönüş dizisini geri almanın tek yolu, tam tersi hareketleri titizlikle birer birer yapmak gibi geliyor. Ancak İsviçre’deki Cenevre Üniversitesi’nden Jean-Pierre Eckmann ve Güney Kore’deki Ulsan Ulusal Bilim ve Teknoloji Enstitüsü’nden (UNIST) Tsvi Tlusty, ilk dönüşün boyutunu ortak bir faktörle değiştirmeyi (ölçekleme olarak bilinen bir süreç) ve bunun iki kez tekrarlanmasını içeren gizli bir sıfırlama düğmesi buldular.
Topaç durumunda, eğer ilk dönüşünüz tepeyi dörtte üç oranında çevirmişse, dönüşünüzü sekizde bire ölçeklendirerek ve ardından ekstra bir çeyrek dönüş sağlamak için bunu iki kez tekrarlayarak başlangıca dönebilirsiniz. Ancak Eckmann ve Tlusty, bunu çok daha karmaşık durumlarda da yapmanın mümkün olduğunu gösterdi.
Tlusty, “Aslında bu, bir dönüş, kübit, jiroskop veya robotik kol gibi dönen hemen hemen her nesnenin bir özelliğidir” diyor. “Eğer (nesneler) uzayda oldukça karmaşık bir yoldan geçerlerse, tüm dönüş açılarını aynı faktörle ölçeklendirerek ve bu karmaşık yörüngeyi iki kez tekrarlayarak, başlangıç noktasına geri dönerler.”
Matematiksel kanıtları, üç uzaysal boyutta mümkün olan tüm dönüşlerin bir kataloğuyla başlar. SO(3) olarak bilinen bu katalog, özel kuralları olan ve bir top gibi yapılandırılmış soyut bir matematiksel uzay kullanılarak tanımlanabilir; bir nesneyi, bir elmanın içinde tünel açan bir solucan gibi, topun içindeki bir noktadan diğerine hareket etmeye karşılık gelen gerçek uzaydaki bir dizi dönüş boyunca itme eylemidir.
Topu karmaşık bir şekilde döndürdüğünüzde, SO(3) uzayındaki eşdeğer yol, topun tam ortasından başlar ve dönüş detaylarına bağlı olarak topun herhangi bir başka noktasında sona erebilir. Dönüşü geri almanın amacı, topun merkezine giden bir yol bulmaya eşdeğerdir, ancak yalnızca bir merkez olduğundan, bunu rastgele yapma olasılığınız düşüktür.
Gerçek uzaydaki dönme dizilerine karşılık gelen, SO(3) matematiksel uzayında izlenebilecek birçok yoldan bazıları
Eckmann ve Tlusty, SO(3)’ün yapılanmasının bir sonucu olarak, bir dönüşü yarı yolda geri almanın, sizi topun yüzeyinde herhangi bir yere indirecek bir yol bulmaya eşdeğer olduğunu fark etti. Tlusty, bunun merkeze ulaşmaya çalışmaktan çok daha kolay olduğunu çünkü yüzeyin birçok noktadan oluştuğunu söylüyor. Bu yeni kanıtın anahtarıydı.
Eckmann, ikilinin hiçbir yere varmayan matematiksel akıl yürütme türlerini kovalamak için çok zaman harcadığını söylüyor. Sonunda işe yarayan şey, Rodrigues formülü adı verilen birbirini izleyen iki döndürmeyi ve sayılar teorisi olarak bilinen matematiğin bir dalından 1889 teoremini birleştiren 19. yüzyıldan kalma bir formüldü. Sonuçta araştırmacılar, sıfırlama için gerekli ölçeklendirme faktörünün neredeyse her zaman mevcut olduğu sonucuna vardı.
Eckmann’a göre yeni çalışma, rotasyon çalışmaları kadar iyi bilinen bir alanda bile matematiğin ne kadar zengin olabileceğinin bir göstergesi. Tlusty, bunun örneğin manyetik rezonans görüntülemenin (MRI) temeli olan nükleer manyetik rezonansta (NMR) pratik sonuçları olabileceğini söylüyor. Burada araştırmacılar, malzemelerin ve dokuların özelliklerini, içlerindeki kuantum dönüşlerinin, dış manyetik alanlar tarafından kendilerine uygulanan rotasyonlara verdiği tepkiyi inceleyerek öğreniyorlar. Yeni kanıt, görüntüleme sürecine müdahale edebilecek istenmeyen dönüş dönüşlerini geri almaya yönelik prosedürlerin geliştirilmesine yardımcı olabilir.
İsviçre’deki Lozan Federal Politeknik Okulu’ndan Josie Hughes, çalışmanın aynı zamanda robot biliminde ilerlemelere de yol açabileceğini söylüyor. Örneğin, yuvarlanan bir robotun, teorik olarak sonsuza kadar sürebilecek güvenilir bir dönüş-sıfırlama-dönme hareketi içeren, yinelenen bölümlerden oluşan bir yolu izlemesi sağlanabilir. “Herhangi bir katı vücut şekli arasında geçiş yapabilen bir robotumuz olduğunu hayal edin, daha sonra sadece şekli değiştirerek istenen herhangi bir yolu izleyebilir” diyor.
