20. yüzyıl fizikçisi, 18. yüzyıl istatistikçisi ve antik Yunan filozofunun ortak noktası nedir? Hepsi inanılmaz bir doğrulukla nasıl tahmin yapılacağını biliyordu. Köşe Yazarı Jacob Aron Tahmin etme yeteneğinizi geliştirmek için yöntemlerini nasıl birleştireceğinizi açıklıyor
Kutuda ne var?
Size bir kutu gösterdiğimi ve daha fazla ayrıntı vermeden içinde ne olduğunu tahmin etmenizi istediğimi varsayalım. Bunun tamamen imkansız olduğunu düşünebilirsiniz, ancak kabın doğası bazı bilgiler sağlar; örneğin içindekiler kutudan daha küçük olmalıdır; katı bir metal kutu ise sıvıları tutabilir ve bir karton kutunun zorlanacağı sıcaklıklara dayanabilir.
Sınırlı bilgiyle bu tahmin sürecini matematiksel olarak mantıklı bir şekilde açıklamanın bir yolu var mı? Açıkçası, güvenilir bir şekilde tahmin edilemeyen bazı şeyler vardır (yazı tura atılması, zar atılması) ve biz bunları rastgele olarak adlandırırız. Ancak diğer her şey için, birkaç kullanışlı araç, eterden bir cevap seçmek yerine, tahminlerinizi sınırlama konusunda sizi çok daha iyi hale getirebilir.
Kısıtlı bir tahmin aslında bir tahmindir ve bunların uzun bir geçmişi vardır. Belki de en etkileyici erken örnek, MÖ 3. yüzyılda Mısır’ın İskenderiye şehrinde yaşayan antik Yunan filozofu Eratosthenes’tir. Birkaç basit fikirle Dünya’nın çevresini şaşırtıcı bir doğrulukla tahmin edebildi. Kesin yöntemi kayıptır ancak eserinden sonra yazılan metinler sayesinde onu yeniden inşa edebilmekteyiz.
Aslında Eratosthenes, yaz gündönümünde öğle saatlerinde güneşin antik Syene şehrinin tam üstünde göründüğünü ve kuyuya gölge düşürmediğini biliyordu. Bu arada, İskenderiye’de aynı gün ve saatte, dikey bir çubuğun yaklaşık 7 derecelik veya kabaca bir dairenin 1/50’si kadar bir açının gölgesi oluşturduğu görüldü. İki şehir arasındaki mesafenin bir uzunluk birimi olan 5000 stadyum olduğunu biliyordu, dolayısıyla Dünya’nın tam çevresinin bunun 50 katı, yani 250.000 stadyum olması gerektiğini tahmin ediyordu.
Eratosthenes burada geometriyle ilgili birkaç tahminde bulundu ama bunu göz ardı edebiliriz. Biraz daha yanıltıcı olan ise bir stadyumun gerçek değerini bilmiyor olmamız. Eratosthenes’in kabaca 160 metreye eşdeğer bir şey kullandığı düşünülüyor. Bu bize 160*250.000 = 40.000 kilometrelik bir çevre verir; bu da modern ölçüm olan 40.075 kilometreye oldukça yakındır. Elbette bir stadyum için farklı değerler (150 ila 210 metre arasında değişir), Eratosthenes’e ne kadar cömert olmak istediğimize bağlı olarak size farklı bir yanıt ve farklı bir doğruluk düzeyi sunar.
Eratosthenes’e göre dünya böyleydi ama yine de Dünya’nın çevresini oldukça doğru bir şekilde tahmin edebilmişti.
Buradaki önemli nokta, birkaç basit ama makul hesaplamanın size oldukça güçlü bir tahminde bulunabilmesidir – bir gezegenin etrafını dolaşmasına gerek kalmadan ölçülmesi. 20. yüzyılda bu işin ustası, ilk nükleer reaktörü inşa eden ve ABD’nin atom bombası geliştirme amaçlı Manhattan Projesi’nde kilit rol oynayan fizikçi Enrico Fermi’ydi. Böyle bir silahın ilk patlamasında, yani Trinity testinde oradaydı ve küçük kağıt parçalarını düşürüp patlama tarafından nasıl hareket ettiklerini izleyerek patlamanın gücünü tahmin etmeye çalıştı (kimse bunun ne olacağından emin değildi). Eratosthenes gibi onun da kesin tekniği hiçbir zaman kaydedilmedi, ancak bunun 10 kilotonluk bir bomba olduğu yönündeki tahmini, bugün Trinity verimi için kabul edilen 21 kilotonluk gerçek değerin yaklaşık yarısı kadardır. Bu mükemmel değil ama en azından doğru alanda.
Aslına bakılırsa, doğru oyuna girmek Fermi’nin bir tür şakasıydı; o, bu tür arka plan tahminlerini o kadar seviyordu ki, bunlar artık Fermi problemleri olarak biliniyor. Klasik örnek, öğrencilere vereceği zorluktur: Chicago şehrinde kaç tane piyano akortçusunun bulunduğunu tahmin etmek. Chicago’nun nüfusundan başlayarak (yaklaşık 3 milyon), ortalama bir hanede dört kişinin bulunduğunu, yani 750.000 hane bulunduğunu varsayabiliriz. Her beş kişiden birinin piyanosu varsa Chicago’da 150.000 piyano var. Bir piyano akortçusunun hafta içi dört piyano üzerinde çalışabileceğini varsayarsak, yılda yaklaşık 1000 piyanoya ulaşabilirler. Yani, eğer bu 150.000 piyanonun bakımı her yıl yapılıyorsa, Chicago’da 150 piyano akortçusu olması gerekir.
Bu tahminin önemli noktası onun doğru olması değil, yanlışlığıyla sınırlı olmasıdır. Yol boyunca bir dizi varsayımda bulunduk – ancak bazılarının fazla tahmin edileceği, diğerlerinin ise eksik tahmin edileceği göz önüne alındığında ve tek yönde bir önyargınızın olmadığını varsayarsak, o zaman hataların sınırlı olması muhtemeldir. Eğer hesaplamalarımız örneğin Chicago’da bir milyon piyano akortçusunun olduğunu gösterseydi, bunun yanlış olduğundan oldukça emin olabilirsiniz.
Fermi tahmini ilk tahminler için güçlü bir teknik olsa da bazen ilk cevabımızı geliştirmemize yardımcı olabilecek yeni bilgiler toplarız. Başladığım kutu örneğine dönelim. Kutunun içinden üzerinde 32 rakamı olan mavi bir top çeksem, içeriğine ilişkin tahmininiz değişir mi? Kutunun içinde başka topların da olduğunu, bazılarının mavi olduğunu ve diğerlerinin de sayılara sahip olduğunu varsayabilirsiniz; ancak bunu ölçmenin bir yolu var mı? Evet, 18. yüzyıldan kalma bir istatistikçi ve kilise papazı olan Thomas Bayes sayesinde.
Thomas Bayes’e ait olduğu düşünülen bir portre
Bayes’in inanılmaz içgörüsü, olasılığı baş aşağı çevirmek ve onu yazı tura atmanın sonucu gibi rastgeleliği anlamaya yönelik bir araçtan belirsizliği ölçmek ve gözden geçirmek için bir çerçeveye dönüştürmekti. Gözlemleri kanıta dönüştürmek için Bayes teoremi adlı bir denklem ortaya koydu. Dört bölümden oluşur: önceki, kanıt, olasılık ve son. Her birini sırasıyla açıklayayım.
Önceki temel varsayımımızdır. Bir partide üç çeşit dondurma (çikolata, çilek ve vanilya) servis ettiğimi ve stok yaptığımdan emin olabilmek için hangisinin en popüler olacağını bilmek istediğimi varsayalım. Makul bir temel varsayım, tat tercihlerinin insanlar arasında eşit şekilde dağıldığı ve nüfusun üçte birinin her tadı beğendiğidir. Ama sonra parti başlıyor ve ben gerilmeye başlıyorum. İlk 10 kişinin hepsi çikolata yemeye gitti; bu benim kanıtım.
İşte burası biraz karmaşıklaşıyor. Olasılığı tanımlamak için orijinal varsayımıma bakmam gerekiyor. Eğer tat tercihleri gerçekten eşit olsaydı, 10 çikolatayı arka arkaya görme şansı nedir? Cevap (1/3)^10 veya yaklaşık 60.000’de 1’dir. Bu pek olası değil, bu da benim ilk varsayımımın muhtemelen yanlış olduğunu gösteriyor ve çikolatayı çok daha yüksek bir şekilde tercih edeceğimi varsaymak için bunu güncellemem gerekiyor, bu da bize gözlemlenen kanıtları görme olasılığımızı artıracaktır. Bu güncelleme bize sonuncuyu verir.
Bu teoremin olağanüstü derecede güçlü olduğu ortaya çıkıyor. Kutu örneğime dönelim: Çıkardığım ilk top, içerideki olasılıkları büyük ölçüde sınırlıyor. Başka bir top çıkarırsam, bu kırmızı ve “50” işaretli, bu olasılıkları daha da kısıtlıyor – artık en az iki renk top olduğunu biliyorsunuz ve bunların sırayla eşit şekilde numaralandırıldığını varsayarsanız, toplam miktarları muhtemelen büyük (bir milyondan fazla) yerine küçüktür (100’ün altında). Çıkardığım her top size daha fazla kanıt sunuyor ve bunları her seferinde önceki durumunuzu güncellemek için kullanabilirsiniz.
Bayes teoremiyle farkında olmadan karşılaşmış olabileceğiniz yerlerden biri de e-posta gelen kutunuzdur. En eski spam filtreleri, e-postaların belirli bir yüzdesinin spam olduğunu varsayarak (önceki) Bayes mantığı kullanıyordu, ardından sizin ve servis sağlayıcınızın spam olarak işaretlediği e-postaları (kanıt) ve belirli kelime ve ifadelerin spam e-postalarda görünme olasılığı (olasılık) ile birlikte kullanarak hangi e-postaların gerçekten spam olduğunu (sonraki) öğreniyordu.
Spam filtreleme, tahminde bulunmanın neden kutularla yapılan matematiksel bir hile olmadığını, gerçek dünyayla alakalı olduğunu gösteriyor. Ve bu teknikleri (Fermi tahmini ve Bayesian muhakemesi) kullanmak, ChatGPT gibi kalıp eşleştirmeli yapay zekaların olduğu bir dünyada her zamankinden daha önemli. Yakın zamanda yazdığım gibi, modern yapay zekaların inşa edilme şekli, onların önceliklerinizi güncellemek veya bunlara meydan okumak yerine genellikle onaylamaya çalıştıkları, uymayan yeni kanıtları tam olarak dikkate almadan mevcut kalıplarla eşleştikleri anlamına geliyor. Yapay zekanın sizin için yanlış tahmin yapmasına izin vermeyin; bunu kendiniz doğru şekilde yapmayı öğrenin.
