(Muhtemelen) duyduğunuz en önemli matematikçi

Alexander Grothendieck, alanında bir Titan’dı ve matematikte bir devrimi körükleyen derin bağlantılar kurdu, hepsini bırakmadan ve kaybolmadan önce. Jacob Aron İşinin ne anlama geldiğini araştırıyor

Birinden 20’nin en önemli fizikçisini adlandırmasını isteyin^th Yüzyıl ve neredeyse kesinlikle Albert Einstein diyecekler. Bununla birlikte, matematik alanı hakkında aynı soruyu sorun ve muhtemelen boş bakışlarla karşılanacaksınız – bu yüzden sizi Alexander Grothendieck ile tanıştıracağım.

Einstein, hem görelilik teorisinin mucidi hem de kuantum mekaniği geliştirmede önemli bir figür olarak, fizik üzerinde büyük bir etkiye sahipti ve bilimi gerçek bir küresel ünlü olmak için aştı. Grothendieck tartışmalı olarak matematiği dönüştürmede benzer bir rol oynadı, ancak ölmeden önce akademik çevrelerden ve daha sonra toplumda ortadan kayboldu ve mirasını sadece devrimci çalışmalarında yazdı.

Bundan önce, hem Grothendieck’in çalışması hem de kişiliği, gösteriş yapan Einstein’a kıyasla onu halka açık bir figür olarak zor bir satış yaptı. Elbette, Einstein’ın uzay, zaman ve evrenin doğası hakkındaki fikirleri, en azından matematiksel olarak ifade edildiğinde inanılmaz derecede karmaşıktı, ancak işini erişilebilir kılan hikaye anlatımı için bir ustalığı vardı. Yüksek hızda seyahat eden bir astronotun ikizlerinin geri dönüşten daha fazla yaşlandığını bulduğu İkiz Paradoks gibi örnekler, göreliliği anlamanın harika bir yoludur.

Aksine, Grothendieck’in ne yapacağını açıklamak bile, soyut ve tanıdık olmayan kavramların karmaşasına dalmayı gerektirir. Bunlardan bazılarını açıklamak için elimden geleni yapacağım, ama gerçekten sadece bir yüzey izlenimi vermeyi başarabilirim.

Üst düzeyden başlayalım. Grothendieck, Matematikçiler arasında Cebirik geometrinin temellerini yeniden tanımlamak için ünlüdür. Çok genel olarak, bu cebirsel denklemler ve şekiller arasındaki ilişki ile ilgili bir alandır. Örneğin, x² + y² = 1 denkleminin değerleri, bir grafik üzerine çizildiğinde, yarıçap 1 dairesi oluşturur.

Cebir ve geometri arasındaki bu ilişkiyi resmileştirmeye başlayan ilk insanlardan biri, bugün hala grafikler üzerinde denklemleri çizmek için kullandığımız Kartezyen koordinatları olan 17. yüzyıl filozofu René Descartes’dı. Ancak bu ilişki çok daha derine inebilir. Matematikçiler, bir fikir alma ve mümkün olduğunca geniş olması için genellemeyi severler, daha önce belirgin olmayan bağlantılar kurarlar. Grothendieck bu konuda bir ustaydı – aslında, hayatı ve çalışması hakkında bir kitap, kişisel matematiksel imzasının bir parçası olarak “maksimum genellik arayışı” olarak nitelendirdi.

Yukarıdaki daire denklemine atıfta bulunarak, denklemi çözen ve çemberi oluşturan nokta kümesi, matematikçilerin “cebirsel çeşit” dediği şeydir. Cebirsel bir çeşidin Kartezyen düzlemde bir dizi nokta olması gerekmez. Ayrıca 3D uzayda (örneğin bir küre oluşturanlar) veya hatta daha yüksek boyutlarda noktalar olabilir.

Bu Grothendieck için yeterli değildi. Örneğin, x² = 0 ve x = 0 denklemlerini alın. Her ikisinin de tek bir çözümü vardır, X x ila 0 ayarları, yani puan kümeleri – cebirsel çeşitleri – aynıdır. Ve yine de, denklemler açıkça farklı, bu yüzden burada bir şeyler kayboluyor. 1960 yılında, maksimum genellik arayışının bir parçası olarak Grothendieck, bu ekstra bilgileri yakalamak için yola çıkan bir “şema” kavramını tanıttı.

Nasıl çalışır? Burada başka bir konsepte ihtiyacımız var: bir yüzük. Kafa karıştırıcı bir şekilde, bunun bahsettiğimiz dairenin şekli ile ilgisi yok. Bunun yerine, matematikçilerin “halka” dediği şey, eklendiğinde veya çoğaltıldığında, bu koleksiyonda kalan bir nesne koleksiyonudur – bir anlamda kapalıdırlar veya bir yüzük gibi, kendilerine geri dönerler, ancak adı sadece gevşek bir metafordur.

Bir halkanın en basit örneği tamsayılardır: tüm negatif tam sayılar, tüm pozitif tam sayılar ve sıfır. Bir tamsayı nasıl eklediğiniz veya çoğaltın, her zaman bir tamsayı ile sonuçlanacaksınız. Bir halkanın bir başka temel özelliği, “çarpımsal bir kimliğe” sahip olmasıdır, yani başka bir nesne ile çarpıldığında her zaman ikinci nesneyi tekrar üreten bir nesnedir. Tamsayılarda, bu basittir – çarpımsel kimlik 1’dir, çünkü 1 ile çarpılan herhangi bir tamsayı değişmez. Bu da bize bir halka olmayan bir şeyin kullanışlı bir örneği verir – sadece eşit tamsayıların seti 1 yoktur, bu yüzden çarpımsal kimlik yoktur.

Grothendieck, şemaları tanıtırken, cebirsel çeşitler fikrini halkalarınkiyle birleştirdi (not: burada biraz ekstra karmaşıklıklar sallıyorum!) Bu, x² = 0 ve x = 0 gibi denklemler için eksik bilgileri kodlamak için birleştirdi. Bu inanılmaz derecede güçlü olmaya izin verdi, çünkü matemisyenlerin çeşitli subsisipininlere verilmeden veya çeşitli saldırılara neden olmasına izin verdikten sonra, çeşitli subsisininlerden kaynaklanan problemlere dönüşmesine izin verdi. Geometrik Araçlar.

Yeni şemaların kılıcını kullanan matematikçilere düşen iki önemli sorunu vurgulayacağım. Birincisi, 1949’da matematikçi André Weil tarafından belirli bir cebirsel çeşit için çözüm sayısını saymakla ilgili önerilen dört ifade. Daire örneğimize geri dönersek, x² + y² = 1 denklemine uyan sonsuz sayıda değer vardır (bunu kabaca bir dairenin sonsuz sayıda ‘taraf’ olduğunu söylemeye benzer olduğunu düşünebilirsiniz). Ancak Weil, sadece sınırlı sayıda çözümün mümkün olduğu çeşitlerle ilgileniyordu. Zeta fonksiyonu olarak bilinen bir denklemin bu çözümleri sayabileceğini tahmin etti, ancak kanıtlayamadı.

Şemaları kullanarak Grothendieck ve meslektaşları, 1965’te Weil’in üç varsayımını kanıtlayabildiler, dördüncü kanıt 1974’te daha sonra planları kullanan eski bir öğrencisi Pierre Deligne’den geliyor. Deligne’nin kanıtı, 20’nin en büyük sonuçlarından biri olarak kabul edildi^th Century Matematiği, 25 yıldır matematikçileri şaşırtmış bir zorluğa cevap veriyor. Ayrıca, Grothendieck’in programlarının matematik alanlarında, bu durumda sayı teorisi ve geometride ne kadar güçlü olabileceğini sağlamlaştırdı.

Şemalar ayrıca, meşhur Fermat’ın son teoreminin kırılmasında hayati bir rol oynadı, bu da 1995 yılında Andrew Wiles tarafından Andrew Wiles tarafından çözülene kadar 350 yıldan fazla bir süre boyunca matematikçileri yakalayan bir sorun, denklemi karşılayan bir pozitif tamsayı olmadığını söylüyor.^N + b^N = c^N N 2’den büyük bir tamsayı ise (2 örneği basitçe pisagor teoremidir, fark edebilirsiniz). 17 ile karalandı^th Yüzyıl matematikçisi Pierre de Fermat, bir matematik kitabının kenarında, kanıtını içeremeyecek kadar küçük olduğunu söyledi. Ancak Fermat’ın neredeyse kesinlikle bir kanıtı yoktu, Wiles’ın çözümü Grothendieck de dahil olmak üzere daha sonra geliştirilen matematiğe dayanıyordu. Örneğin, Wiles, problemi eliptik eğrilerle ilgili birine dönüştürmek için cebirsel geometri araçlarını, şemaların dili ile incelenebilen özellikle yararlı bir cebirsel çeşitlilik türüne dönüştürmek için kullandı, ancak gerçekten tüm yaklaşımı Grothendieck’in getirdiği yeni düşünme yolundan ilham aldı.

Grothendieck’in yapmadığım, birçok matematikçinin bugün kullandığı temel araçları oluşturan çok daha fazlası var. Örneğin, “uzay” fikrini (matematiksel anlamda) bir “topos” olarak genelleştirdi ve sadece bir sorunu çözmeye çalışırken sadece uzaydaki noktaları değil, birçok ekstra bilgi seviyesini de dikkate almanıza izin verdi. O ve meslektaşları da bugün konunun İncil’i olarak hizmet eden cebirsel geometri üzerine iki muazzam tomes yazdılar.

Öyleyse tüm bu etkilerle, neden onu duymadın? Belki de gösterdiğim gibi, çalışmaları kavramak için biraz çaba gerektiriyor. Ama aynı zamanda çeşitli nedenlerden dolayı ilgi odağıdan da kaçtı. Taahhütlü bir pasifist olarak, Moskova’da yapıldığı ve Sovyetler Birliği’nin askeri eylemlerine itiraz ettiği için (ABD askeri eylemi hakkında benzer görüşleri vardı, söylenmesi gereken), 1966 törenine Fields Madalyası ödülünü vermesi için katılmayı reddetti. “Doğurganlık, onurlarla değil, yavrularla ölçülür” dedi, matematiksel çalışmalarının kendisi için konuşmasına izin vermeyi tercih ediyor.

1970 yılında akademiyi terk ederek, askeri finansmanını protesto etmek için Fransa’daki Institut des Hautes Études Scientifiques’teki konumunu bıraktı. Başlangıçta, matematiksel çalışmalarına resmi akademinin dışında devam etti, ancak giderek daha fazla izole oldu. 1986’da bir otobiyografi yazdı, Hasat ve ekmekmatematik yapma deneyimi ve matematik topluluğuyla hayal kırıklığı hakkında. Ertesi yıl, felsefi bir el yazması hazırladı. Rüyaların AnahtarıTanrı’nın ona peygamberlik hayallerini nasıl gönderdiğini açıkladı. Her iki metin de matematikçiler arasında dolaştı, ancak sadece son yıllarda resmi olarak yayınlandı.

Sonraki on yıl, Grothendieck toplumdan daha da çekildi. Uzak bir Fransız köyünde yaşamak, matematik topluluğuyla tüm bağları keserek, bir noktada yerliler müdahale edene kadar sadece karahindiba çorbasında geçmeye çalıştı. Matematik ve felsefe üzerine kapsamlı bir şekilde yazmaya devam ettiğine inanılıyor, ancak işlerin hiçbiri yayınlanmadı. Gerçekten de, 2010 yılında matematikçilere hiçbirinin olmaması gerektiğini talep eden bir mektup göndermeye başladı. Matematik dünyasında yaptığı ve mümkün kıldığı tüm bağlantılar için nihayetinde onları kişisel hayatında reddetti. 2014 yılında öldü ve muazzam bir matematik mirasını geride bıraktı.