Neden sıfır matematikteki en önemli sayıdır?

Bırakın en güçlü sayılardan biri olmayı, sıfırın bir sayı olarak tanınması bile uzun zaman aldı; ancak artık her sayının sıfırlardan oluştuğu açık. Jacob Aron

Matematiğin bütününde en önemli sayı nedir? Tamam, bu oldukça aptalca bir soru; sonsuz olasılıklar arasından nasıl seçim yapabilirsin? Sanırım 2 ya da 10 gibi büyük bir vurucunun taçta trilyonlarca trilyonlarca rastgele seçilmiş bir şeyden daha iyi bir iddiası var, ama gerçekte bu yine de oldukça keyfi olurdu. Yine de çok önemli bir sayının var olduğunu iddia edeceğim: Sıfır. Bakalım seni ikna edebilecek miyim?

Zero’nun matematik panteonunun zirvesine yükselişi, tipik bir kahramanın yolculuğu gibi mütevazi kökenlerle başlıyor. Aslında yaklaşık 5000 yıl önce başladığında aslında bir sayı bile değildi. O zamanlar eski Babilliler sayıları yazmak için çizgilerden ve dilimlerden oluşan çivi yazısını kullanıyorlardı. Bunlar, 1’den 9’a kadar olan sayıları temsil eden bir işaret türü ve 10, 20, 30, 40 ve 50’yi sayan başka bir işaret miktarıyla çetele işaretlerine benziyorlardı.

Bu işaretler 59’a kadar saymanızı sağlar, peki 60’a ulaştığınızda ne olur? Babilliler 60 için kullandıkları işaretin aynısını 1 için de kullanarak yeniden başladılar. 60’a dayalı bu sayı sistemi kullanışlıydı çünkü 60 pek çok başka sayıya bölünebiliyor, hesaplamaları kolaylaştırıyordu; bugün hala saati söylemek için bu sistemi kullanmamızın nedeni kısmen bu. Ancak 1 ile 60 arasında ayrım yapamamak büyük bir dezavantajdı.

O halde çözüm sıfırdı ya da en azından buna benzer bir şeydi. Babilliler, bir sayının yokluğunu belirtmek için açılı iki takoz kullanmışlar ve tıpkı bizim bugün yaptığımız gibi diğer sayıları doğru yere yerleştirmelerine olanak sağlamışlardı.

Örneğin modern sayı sisteminde 3601, üç binler, altı yüzler, sıfır onluklar ve birler anlamına gelir. Babilliler bunu altmış altmış, sıfır onluk ve bir bir olarak yazarlardı, ancak konumsal sıfırları olmasaydı bunun simgeleri bir altmış ve bir birlerle tamamen aynı olurdu. Daha da önemlisi, Babilliler aslında sıfırlı konumları saymıyorlardı; bu daha çok bir noktalama işaretine veya bir sonraki sayıya geçmeyi hatırlatmaya benziyordu.

Bu tür yer tutucu sıfır, diğer antik kültürlerde de binlerce yıl boyunca kullanıldı, ancak hepsinde değil. Özellikle Romalılarda sıfır yoktu çünkü Roma rakamları konumsal bir sayı sistemi değildir; X nerede olursa olsun her zaman 10’u temsil eder. Sıfırın bir sonraki evrimi 3’e kadar gelmedi^üçüncü yüzyılda, en azından şimdiki Pakistan’da keşfedilen bir el yazmasına göre. Konumsal sıfır olarak kullanılan yüzlerce nokta sembolü içerir ve sonunda bugün bildiğimiz 0’a dönüşen de bu semboldür.

Yine de sıfırın yalnızca bir yer tutucu değil, başlı başına bir sayı olduğu fikrinin birkaç yüzyıl daha beklemesi gerekecekti. İlk olarak Hintli matematikçi Brahmagupta tarafından MS 628 civarında yazılan Brāhmasphuṭasiddhānta adlı bir metinde görülüyor. Ondan önceki pek çok kişi, örneğin 2’den 3’ü çıkarmaya çalıştığınızda tuhaf bir şey olduğunun farkında olmasına rağmen, bu tür hesaplamalar geleneksel olarak saçma olarak değerlendiriliyordu. Brahmagupta, aritmetiği hem negatif sayılarla hem de sıfırla tanımlayarak bu fikri ciddiye alan ilk kişiydi. Sıfırın nasıl değiştirileceğine ilişkin tanımı, önemli bir istisna dışında, modern konseptimize oldukça yakındır: Sıfıra böldüğünüzde ne olur? Brahmagupta 0/0 = 0 dedi, ancak sıfıra bölünen herhangi bir sayı için bu kaçamaktı.

Sorunun gerçek cevabını bulmak bin yıl daha alacak ve matematikçilerin cephaneliğindeki en güçlü araçlardan biri olan kalkülüsün ortaya çıkmasına neden olacaktır. 17. yüzyılda Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından bağımsız olarak geliştirildi.^o yüzyılda, matematik sonsuz küçük sayıların (gerçekte sıfır olmadan sıfıra olabildiğince yakın olanların) manipülasyonunu içerir. Esasen, sonsuz küçükler sıfıra bölme fikrine gerçekte ulaşmadan gizlice yaklaşmanıza izin verir ve bunun olağanüstü derecede faydalı olduğu ortaya çıkar.

Nedenini öğrenmek için küçük bir gezintiye çıkalım. Diyelim ki bir arabayı giderek daha hızlı kullanıyoruz ve siz de hızlanmayı artırmak için ayağınızı yavaş yavaş yere koyuyorsunuz. Arabanın hızını v = t² denklemiyle tanımlayabiliriz; burada t zaman anlamına gelir. Yani 4 saniye sonra, diyelim ki hızınız 0’dan başlayarak saniyede 16 metre olacak. Peki bu sürede ne kadar yol kat ettiniz?

Mesafe, hızın zamanla çarpımına eşit olduğundan, 64 metreyi bulmak için 16’yı 4 ile çarpmayı deneyebiliriz. Ancak bu doğru olamaz çünkü en son hız olan 16 m/s’ye ancak sonda ulaşırsınız. Belki bunun yerine yolculuğu ikiye bölebilirdik, ilk yarıyı 2 saniye boyunca 4 m/s, ardından 2 saniye boyunca 16 m/s hızla ilerlemek olarak alabilirdik. Bu bize 4 x 2 + 16 x 2 = 40 metre mesafeyi verir. Ama gerçekte bu abartılı bir tahmin çünkü biz hâlâ bu iki yarıdaki en yüksek hızlara güveniyoruz.

Tahminimizin doğruluğunu artırmak için zaman çerçevemizi daraltmamız gerekiyor, böylece yalnızca belirli bir noktada kat ettiğimiz hızı o noktada gerçekten harcadığımız zamanla çarpıyoruz – ve işte burada sıfıra ulaşıyoruz. Bir grafik üzerinde v = t²’yi çizerseniz ve önceki tahminlerimizi üst üste koyarsanız, ilk tahminin tam olarak eşleşmediğini, ikinci tahminin ise daha yakın bir uyum olduğunu görürsünüz. En doğru ölçümü elde etmek için yolculuğu sıfır saniye uzunluğundaki zaman dilimlerine ayırmamız ve ardından bunları toplamamız gerekir. Ancak bu, sıfıra bölmeyi gerektirir ki bu imkansızdır; ya da en azından, hesabın icadına kadar öyleydi.

Newton ve Leibniz, gerçekte bunu yapmadan sıfıra bölmeye yaklaşmanıza olanak tanıyan püf noktaları buldular ve kalkülüsün tam bir açıklaması bu makalenin kapsamı dışında olsa da (ilgileniyorsanız çevrimiçi bir kursu deneyin!), onların yöntemleri gerçek cevabı ortaya koyuyor, bu da t²’nin veya t³/3’ün integrali. Bu bize 21 ve 1/3 metrelik bir mesafe verir. Bu aynı zamanda genel olarak eğrinin altındaki alan olarak da adlandırılır ve grafiğin şu şekilde gösterildiğini gördüğünüzde daha belirgin hale gelir:

Matematik, bir arabanın kat ettiği mesafeyi hesaplamaktan çok çok daha fazlası için kullanılır; aslında onu fizikten kimyaya ve ekonomiye kadar değişen nicelikleri anlamayı içeren hemen hemen her şey için kullanırız. Bunların hiçbiri sıfır olmadan ve onun muhteşem gücünün nasıl kullanılacağına dair bir anlayış olmadan mümkün olamazdı.

Benim için Zero’nun gerçek şöhret iddiası 19’un sonlarında ortaya çıkıyor.^o ve 20’nin başı^o yüzyıllardır, matematiğin varoluşsal bir krize sürüklendiği bir dönemde. Konularının temelini araştıran matematikçiler ve mantıkçılar giderek daha fazla tehlikeli boşluklar keşfediyorlardı. İşleri sağlamlaştırma çabalarının bir parçası olarak, önceden resmi bir tanıma ihtiyaç duymadıkları çok açık kabul edilen matematiksel nesneleri (sayılar da dahil) titizlikle tanımlamaya başladılar.

Sayı tam olarak nedir? Üç gibi bir kelime ya da 3 gibi bir sembol olamaz çünkü bunlar sadece üçlük kavramına verdiğimiz keyfi etiketlerdir. Elma, armut ve muz gibi bir dizi nesneyi işaret edip “bu kasede üç parça meyve var” diyebiliriz ama bu yine de onun temel doğasına ulaşmaz. İhtiyacımız olan soyut olarak sayabileceğimiz ve “üç” diyebileceğimiz bir koleksiyona koyabileceğimiz bir şey. Modern matematik tam da bunu yapıyor; sıfırla.

Matematikçiler bir koleksiyon yerine kümelerden bahseder; dolayısıyla meyve örneği {elma, armut, muz} olur ve küme parantezleri bir kümeyi belirtir. Küme teorisi matematiğin modern temelinin temelidir; Bunu neredeyse matematiğin “bilgisayar kodu” gibi düşünebilirsiniz; mantıksal bir tutarlılık sağlamak ve matematikçilerin ortaya çıkardığı bazı temel deliklerden kaçınmak için tüm matematiksel nesnelerin sonuçta kümelerle ilişkili olarak tanımlanması gerekir.

Sayıları tanımlamak için matematikçiler “boş küme”yle, yani sıfır nesne içeren kümeyle başlar. Bu, {} olarak gösterilebilir, ancak daha sonra ortaya çıkacak nedenlerden dolayı ∅ şeklinde yazılması daha kullanışlıdır. Boş kümeyi elde ettiğimizde geri kalan sayıları tanımlayabiliriz. Birlik kavramı, tek bir nesneyi içeren bir kümedir, o halde boş kümeyi buraya koyalım: {{}} veya {∅}, bu gözü yormaz. Bir sonraki sayı olan iki, iki nesneye ihtiyaç duyar. Birincisi boş küme olabilir, peki ya ikincisi? Birini tanımlarken zaten başka bir nesne yapmıştık, boş kümeyi içeren küme, hadi onu kullanalım. Bu, ikiyi tanımlayan kümemizin {∅, {∅}} gibi görünmesini sağlar. O zaman üç, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} olur ve bunu istediğiniz kadar yapmaya devam edebilirsiniz.

Başka bir deyişle sıfır yalnızca en önemli sayı değildir; bir bakıma tek sayıdır. Herhangi bir sayının başlığının altına bir göz attığınızda, onun baştan aşağı sıfır olduğunu göreceksiniz. Bir zamanlar yalnızca yer tutucu olarak kabul edilen bir şey için hiç de fena değil.