Yakın zamanda yapılan bir çalışmada Berlin Freie Üniversitesi’nden matematikçiler düzlemsel döşemenin veya mozaiklemenin güzel bir desen yaratmanın bir yolundan çok daha fazlası olduğunu gösterdi. Boşluksuz ve örtüşmeyen bir veya daha fazla geometrik şekille kaplanmış bir yüzeyden oluşan mozaiklemeler, karmaşık matematik problemlerini çözmek için hassas bir araç olarak da kullanılabilir.
Bu, Heinrich Begehr ve Dajiang Wang tarafından yazılan ve yakın zamanda bilimsel dergide yayınlanan “Matematikte/Matematikte Güzellik: Mozaikler ve Formülleri” adlı çalışmanın temel bulgularından biridir. Uygulanabilir Analiz. Çalışma, karmaşık analiz alanından, kısmi diferansiyel denklemler teorisinden ve geometrik fonksiyon teorisinden elde edilen sonuçları birleştiriyor.
Çalışmanın odak noktalarından biri “parkeleme-yansıma ilkesi”dir. Bu, bir düzlemi döşemek için geometrik şekillerin kenarları boyunca tekrarlanan yansımalarının kullanılması anlamına gelir ve bu da oldukça simetrik desenler sağlar. Düzlemsel mozaiklemelerin estetik örneklerini MC Escher’in çalışmalarında görmek mümkündür. Prensip, görsel çekiciliğinin ötesinde, matematiksel analizde de uygulamalara sahiptir; örneğin, Dirichlet problemi veya Neumann problemi gibi klasik sınır değeri problemlerinin çözümü için bir temel olarak.
Profesör Begehr, “Araştırmamız matematikte güzelliğin sadece estetik bir kavram olmadığını, aynı zamanda yapısal derinliği ve verimliliği olan bir şey olduğunu gösteriyor” diyor. “Mozaiklerle ilgili önceki araştırmalar büyük ölçüde şekillerin bir yüzeyi döşemek veya kaplamak için nasıl kullanılabileceğine odaklanmış olsa da (örneğin, Nobel Ödülü sahibi Sir Roger Penrose tarafından yürütülen bazı iyi bilinen çalışmalar), yeni mozaikler oluşturmak için parke yansıtma yöntemini kullanmak yeni olasılıklar açıyor.
“Matematiksel fizik ve mühendislik gibi alanlarda faydalı olabilecek, bu döşenmiş bölgelerdeki fonksiyonları temsil etmenin yollarını geliştirmek için pratik bir araçtır.”
Özellikle, fizik ve mühendislikteki sınır değer problemlerini çözmek için kullanılabilecek araçlardan bazıları olan Green, Neumann ve Schwarz çekirdekleri dahil olmak üzere çekirdek fonksiyonları için özel formüller türetmek için kullanılabilir. Bu nedenle bu çalışma, geometrik sezgi ile analitik kesinlik arasında zarif bir bağlantı kuruyor.
Parkeleme-yansıma ilkesi on yılı aşkın bir süredir ün kazanıyor ve özellikle kariyerinin başındaki akademisyenler arasında bir araştırma konusu olarak popüler. İlk geliştirilmesinden bu yana Freie Üniversitesi’nde toplam on beş tez ve final tezinin yanı sıra yurtdışındaki araştırmacıların yedi tezi de konuyu araştırdı.
Dikkat çekici bir şekilde, bu prensip yalnızca Öklid uzayında değil, aynı zamanda hiperbolik geometrilerde de (teorik fizikte ve uzay-zamanın modern görselleştirmelerinde kullanılan türlerde) işe yarar. İlkeye olan ilgi hâlâ yüksek. Geçen yıl Begehr dergide “Hiperbolik Mozaikleme: Hiperbolik Geometride Schweikart Üçgeni için Harmonik Yeşil Fonksiyon” başlıklı bir makale yayınladı. Karmaşık Değişkenler ve Eliptik Denklemler hiperbolik düzlemde bir Schweikart üçgeni için harmonik Green fonksiyonunu oluşturmak amacıyla parkeleme-yansıma ilkesinin kullanımını gösterdi.
Wang, “Sonuçlarımızın yalnızca saf matematik ve matematiksel fizikte yankı bulmayacağını, aynı zamanda mimari veya bilgisayar grafikleri gibi alanlarda da fikirlere ilham vereceğini umuyoruz” diyor.
Berlin’de fayans geleneği
Berlin Freie Üniversitesi Matematik Enstitüsü’nden Begehr liderliğindeki araştırma grubu, neredeyse yirmi yıldır, Berlin merkezli matematikçi Hermann Amandus Schwarz (1843–1921) tarafından geliştirilen birleşik yansıma ilkesine dayanan bir yöntem olan “Berlin ayna döşemeleri” olarak bilinen yöntemi inceliyor.
Bu yaklaşımda, kenarları düz çizgilerden ve dairesel yaylardan oluşan parçalardan oluşan bir şekil olan dairesel bir çokgen, herhangi bir örtüşme veya boşluk olmadan, tüm düzlem kesintisiz ve tamamen döşenene kadar tekrar tekrar yansıtılır. Bu modeller yalnızca görsel olarak çarpıcı olmakla kalmıyor, aynı zamanda karmaşık sınır değeri problemlerini çözmek için önemli bir araç olan fonksiyonların açık integral temsillerini de mümkün kılıyor.
Begehr, “Matematikçiler bir zamanlar sonsuz sayıda görüntü elde etmek için üç parçalı bir makyaj aynası kullanmak zorundaydı” diyor. “Günümüzde aynı etkiyi yaratmak için tekrarlanan bilgisayar programlarını kullanabiliyoruz ve bunu karmaşık analizlerde kullanılan tam matematiksel formüllerle tamamlayabiliyoruz.”
Schweikart üçgenleri ve hiperbolik güzellik
Estetik açıdan çok etkileyici oldukları düşünülse de, hiperbolik uzaylardaki (örneğin dairesel bir disk içindeki) mozaiklemeler matematikçiler için özel bir zorluk teşkil ediyor. İşte burada “Schweikart üçgenleri” devreye giriyor: amatör matematikçi ve hukuk profesörü Ferdinand Kurt Schweikart’ın (1780–1857) adını taşıyan, bir dik açı ve iki sıfır açı içeren özel üçgenler.
Bu üçgenler, dairesel bir diskin eksiksiz ve düzenli bir şekilde döşenmesine olanak tanır; bilgisayar grafik sanatçıları ve mimarlar için yeni bir ilham sunan estetik çekiciliğe sahip desenler üretir. Aynı zamanda, temeldeki matematiksel yapılar oldukça karmaşıktır ve ileri analitik yöntemler gerektirir.
Görsel bir bilim olarak matematik
Ekibin bulguları, matematiğin sıklıkla gözden kaçırılan bir yönünü vurguluyor: matematik yalnızca soyut bir disiplin değil, aynı zamanda yapı, simetri ve estetiğin merkezi bir rol oynadığı görsel bir bilimdir. Modern görselleştirme teknikleri, grafik yazılımı ve dijital araçlarla eşleştirildiğinde bu bilgiler daha da anlamlı hale gelir.
