Gerd Faltings, görünüşte farklı matematik alanlarını bir araya getiren Mordell varsayımını 1983’te kanıtlaması nedeniyle dünya çapındaki matematikçileri şok etti.
Gerd Faltings 2026 Abel Ödülü’nü kazandı
Gerd Faltings, 1983 yılında matematiği kasıp kavuran çığır açan bir kanıt nedeniyle matematiğin Nobel ödülü olarak kabul edilen 2026 Abel Ödülü’nü kazandı. Onun katkıları, modern matematiğin en önemli alanlarından biri olan aritmetik geometrinin kurulmasına yardımcı oldu.
Aynı çalışmayla 1986’da prestijli Fields madalyasını da kazanan Faltings’in en büyük başarısı, ilk kez 1922’de Louis Mordell tarafından önerilen ve giderek karmaşıklaşan denklemlerin daha az çözüm ürettiğini savunan uzun süredir devam eden bir teorem olan Mordell varsayımını kanıtlamaktı.
Almanya’daki Max Planck Matematik Enstitüsü’nde görev yapan Faltings, haberi öğrendiğinde “onur duyduğunu” ancak başarılarının etkisi konusunda çekingen olduğunu söylüyor. Faltings, “Birisi Everest Dağı’na tırmanmanın, orada olmasından ve bir sorun olmasından kaynaklandığını söyledi” diyor. “(Mordell varsayımını) çözdüm, ama sonuçta bu, kanseri ya da Alzheimer’ı tedavi etmemize izin vermiyor, sadece bazı şeyler hakkındaki bilgimizi genişletiyor.”
Mordell varsayımı, Pisagor teoremindeki a² + b² = c² ve Fermat’ın ünlü son teoreminin merkezinde yer alan aⁿ + bⁿ = cⁿ gibi ünlü denklemleri içeren geniş bir kategori olan Diophantine denklemleriyle ilgilidir. Mordell, bu Diophantine denklemlerinden hangilerinin daha genel formlarında sonsuz sayıda çözüme sahip olduğunu ve hangilerinin yalnızca sonlu bir miktara sahip olduğunu anlamak istedi.
Bu denklemler, bir tür 2 boyutlu sayı olan karmaşık sayılarla yeniden yazılırsa ve ardından küreler veya halkalar gibi yüzeyler olarak çizilirse, Mordell’in görüşü, kaç çözümün mevcut olduğunu belirleyen şeyin yüzeydeki deliklerin sayısı olduğu yönündeydi. Mordell, bir halkadan daha fazla deliğe sahip yüzeyler için, yalnızca sonlu sayıda rasyonel çözümün (tam sayılar veya kesirlerin kullanıldığı çözümler) olabileceğini sezmişti, ancak bunu kanıtlayamadı.
Altmış yılı aşkın bir süre sonra Faltings, Mordell’in önsezisini nihayet kanıtladığında, bu sadece sonuç açısından değil, aynı zamanda bunu nasıl yaptığı açısından da matematikçileri şaşırttı. Onun kanıtı, geometri ve aritmetik gibi görünüşte farklı matematik disiplinlerinden gelen fikirleri birleştirdi. Princeton’daki İleri Araştırmalar Enstitüsü’nden Akshay Venkatesh, “Çok kısa, sanki bir mucize gibi” diyor. “Bu sadece 18 sayfalık bir makale ve farklı teknikler ile farklı sezgiler arasında karmaşık bir şekilde atlıyor.”
Faltings, başarısını belirsizlik karşısında rahat olmasına ve kanıtlanamayan ancak işe yarayabileceğine dair bir önsezisi olan fikirler konusunda risk almaya borçlu olduğuna inanıyor. Faltings, “Bazen her şeyi hemen kanıtlamaya çalışan insanların önüne geçiyorum ama bazen de yoldan çıkıyorum” diyor.
Venkatesh, “Argümanının etkileyici yönlerinden biri de çok fazla şeyi kapsaması ve parçaların birbirine uyması gerektiği” diyor. “İnsan, bu parçaların nasıl bir araya geleceğini henüz bilmeden bu işe girişecek özgüveni nasıl bulduğunu düşünüyor?”
Faltings’in çözdüğü varsayımların çoğu ve Mordell ispatının bir parçası olarak geliştirdiği araçlar, bir şeklin eğrileri ile yapısı arasındaki bağlantıları inceleyen, ancak bizimkinden oldukça farklı sayı sistemlerini kullanan p-adic Hodge teorisi gibi günümüz matematiksel araştırmalarının en geniş alanlarından bazılarının temellerini oluşturmaya devam etti. Aynı zamanda modern matematikteki dönüm noktası niteliğindeki gelişmeleri de doğrudan etkilemiştir.Andrew Wiles’ın Fermat’ın Son Teoremi kanıtının önünü açmak ve tartışmalı bir şekilde abc varsayımını kanıtladığını iddia eden Japon matematikçi Shinichi Mochizuki’ye akıl hocalığı yapmak gibi.
Faltings, bu kadar büyük etkiye sahip sorunlar üzerinde çalışmayı düşünmediğini söylüyor. Faltings, “Benim fikrim şuydu: Beni ünlü ve zengin yapan şeyin ne olduğuna bakmamalıyım, bunun yerine hoşuma giden şeyleri bulmaya çalışıyorum” diyor. “Çünkü sevdiğiniz şeyler üzerinde çalışırsanız daha eğlenceli olur.”
