1907’de İngiliz yazar ve matematikçi Henry Ernest Dudeney bir bulmaca dile getirdi: Herhangi bir eşkenar üçgen, mükemmel bir kare oluşturmak için birbirine sığacak kadar az parçaya kesilebilir mi? Dört hafta sonra, sadece dört parçaya ihtiyaç duyulduğunu gösteren zarif bir çözüm sundu.
İlk şekli parçalara ayırarak ve bunları yeniden düzenleyerek bir şekli diğerine dönüştürme işlemine diseksiyon denir. Diseksiyondaki önemli bir zorluk, bir çokgen şekli diğerine dönüştürmek için gereken parça sayısını en aza indirmektir, bu da yüzyıllardır matematikçileri, bulmaca yapımcıları ve çözücüleri ilgilendiren bir sorundur.
Dudeney’nin bulmaca en ünlü diseksiyon problemlerinden biri olmaya devam ediyor. Diseksiyon problemleri sadece matematikçileri ilgilendirmez, aynı zamanda tekstil tasarımı, mühendislik ve üretim gibi alanlarda pratik uygulamalara da sahiptir. Dudeney, 120 yıl önce çözümünü ilk kez sorduğundan, kalıcı bir soru kaldı: Üçgeni dört parçadan az parçaya indirmeyi gerektiren daha iyi bir çözüm var mı?
Yeni bir çalışmada, Profesör Ryuhei Uehara ve Japonya İleri Bilim ve Teknoloji Enstitüsü’nden (JAist) yardımcı doçent Tonan Kamata, Massachusetts Teknoloji Enstitüsü’nden Profesör Erik D. DeMaine nihayet bu soruyu cevapladı. Dudeney’nin orijinal çözümünün optimal olduğunu kanıtladılar.
Prof. Uehara, “Bir asır sonra, eşkenar üçgen ve karenin üç veya daha az poligonal parça ile ortak bir diseksiyonu olmadığını kanıtlayarak Dudeney’nin bulmacasını nihayet çözdük” diyor. “Bunu eşleşen diyagramları kullanan yeni bir prova tekniği kullanarak başardık.”
Çalışmaları açık erişim deposunda bir ön baskı olarak yayınlandı Arxiv 5 Aralık 2024’te ve Ocak 2025’te 23. LA/Eatcs-Japonya Teorik Bilgisayar Bilimi Çalıştayı’nda sunuldu.
Çalışmalarında, araştırmacılar bir anahtar teoremini kanıtladılar: parçaların ters çevrilmesi yasaklandığında, eşkenar üçgen ile üç veya daha az parçalı bir kare arasında diseksiyon yoktur. Dudeney’nin orijinal çözümü de çevirmeyi içermedi. Bunu belirlemek için, araştırmacılar önce sorunun geometrik kısıtlamalarını analiz ederek iki parçalı diseksiyon olasılığını göz ardı ettiler.
Daha sonra, sistematik olarak üç parçalı bir diseksiyon olasılığını araştırdılar. Diseksiyonun temel özelliklerini kullanarak, üç parçalı diseksiyon için kesme yöntemlerinin uygulanabilir kombinasyonlarını daralttılar. Son olarak, üç parçalı diseksiyon için bu kombinasyonların hiçbirinin uygulanabilir olduğunu titizlikle kanıtlamak için eşleşen bir diyagram kavramını kullandılar, bu nedenle bir kare ve eşkenar üçgen arasındaki bir diseksiyonun üç veya daha az parça ile elde edilemeyeceğini kanıtladı.
Eşleşen şema kanıtlarında merkezi bir rol oynadı. Bu yöntemde, diseksiyonda kullanılan kesilmiş parçalar seti, hem üçgeni hem de kareyi oluşturan parçaların kenarları ve köşeleri arasındaki ilişkiyi yakalayan bir grafik yapısına indirgenir. Araştırmacılar, bu yöntemin sadece Dudeney’nin bulmacası için geçerli olmadığını, aynı zamanda genellikle diğer diseksiyon problemlerine de uygulanabileceğini buldular.
Prof. Uehara, “Kesme ve yeniden düzenleme probleminin, insanlar giyim yapmak için hayvan gizlerini işlemeye başladığından beri var olduğu söyleniyor. Bu tür sorunlar da ince malzemelerin kullanıldığı her durumda karşılaşılıyor.” “Kanıtımız diseksiyon problemlerini anlamak ve çözmek için yeni ufuklar açıyor.”
Her ne kadar birçok diseksiyon problemi, belirli sayıda parçaya sahip çözümler bularak çözülmüş olsa da, mümkün olan en az parçayı kullanarak belirli bir çözümün optimal olduğunu gösteren resmi bir kanıt olmamıştır. Bu çalışmada geliştirilen teknik, böyle bir optimalliği ilk kanıtlayan ilkdir.
Prof. Uehara, “Tekniğimiz, gerçek dünyadaki kesme ve yeniden düzenleme problemleri için optimal bir diseksiyonun mümkün olduğunu gösteriyor. Daha fazla iyileştirme ile, diseksiyon problemlerine tamamen yeni çözümlerin keşfedilmesine yol açabilir.”
