Hangi sonsuzluk daha büyüktür? Alternatif matematik kuralları altında 2 boyutlu bir harita ortaya çıkıyor

Matematiğin en büyük sorularından biri: “Sonsuzluk” aslında ne anlama geliyor? Hangi sonsuzluklar diğerlerinden daha büyüktür? Sonsuzluklar, sonsuz bir merdivenin basamakları gibi, herhangi ikisi için hangisinin diğerinin üzerinde olduğunu her zaman söyleyebileceğimiz şekilde bir sıraya göre düzenlenebilir mi?

20. yüzyılda matematikçiler bu sorulardan bazılarının prensipte cevaplanmasının imkansız olduğunu keşfettiler. TU Wien’den William Chan şimdi biraz daha mütevazı bir yaklaşım benimsedi: Tek ve açık bir sonsuzluk hiyerarşisi olması gerekliliğinden vazgeçti. Ve tam da bunu yaparak olağanüstü bir şeye ulaşıyor. Sonsuzluklar tek bir çizgi boyunca düzenlenmezse ve iki boyutlu bir sisteme yerleştirilirse, görünürdeki zorluklar ortadan kalkar ve şaşırtıcı derecede basit bir düzen ortaya çıkar – bir tür iki boyutlu sonsuzluk haritası.

Araştırma dergide yayınlandı Ulusal Bilimler Akademisi Bildirileri.

Sonsuz sayıda kedi

İlk etapta iki sayı nasıl karşılaştırılabilir? Oldukça basit: Bir kümenin her öğesini diğerinin bir öğesiyle eşleştiririz. Beş kedi ve beş mama kabı varsa her kabın önüne bir kedi yerleştirebiliriz. O zaman kedi sayısı ile kase sayısının aynı olduğunu biliyoruz. Bazı kaseler kalırsa kedilerden daha fazla kase vardır.

TU Wien Ayrık Matematik ve Geometri Enstitüsü’nden Chan, “Aynı fikir sonsuz kümelere uygulanabilir” diye açıklıyor. “Örneğin, doğal sayılar kümesi çift sayılar kümesiyle aynı boyuttadır.”

Bu kulağa tuhaf gelebilir çünkü doğal sayıların yalnızca yarısı çifttir. Ancak çift sayıların tümü numaralandırılabilir: 2, 1 sayısını alır, 4, 2 sayısını alır, 6, 3 sayısını alır, vb. Hiçbir çift sayı asla atlanmaz.

Matematikçi Georg Cantor aynı yöntemin gerçek sayılar için işe yaramadığını kanıtladı. Sonsuz sayıda ondalık basamağa sahip sayılar kümesi böyle bir listeye yerleştirilemez. Her iki küme de sonsuz olmasına rağmen, doğal sayılar kümesinden daha büyüktür.

Harika bir soru ve başarısızlığı

Bu, nesiller boyu matematikçilerin uğraştığı önemli bir soruya yol açtı: Rastgele ara boyutlar da dahil olmak üzere, keyfi boyutlarda sonsuzluklar var mı? Elemanları doğal sayılardan daha fazla, gerçel sayılardan daha az olan bir küme var mıdır?

Bu tür soruları araştırmak için matematikçiler genellikle Zermelo-Fraenkel küme teorisi olarak bilinen temel bir çerçeveye ve seçim aksiyomuna dayanırlar. Boş olmayan kümelerden oluşan bir koleksiyonumuz varsa, bunların her birinden bir öğe seçebileceğimizi söylüyor. Bu çok açık gelebilir: Eğer bir kase çilek varsa elbette ondan bir çilek koparabilirim. Ancak sonsuz sayıda küme varken ve bize hangi öğeyi seçeceğimizi söyleyen açık bir kural bulunmadığından, böyle bir “seçim fonksiyonunun” var olması gerektiği artık açık değildir.

Seçim aksiyomu, sonsuz uzunluktaki bir merdivenin basamakları gibi, sonsuz kümeleri boyutlara göre birbiri ardına düzenlemeyi mümkün kılar. O zaman şunu sorabiliriz: Eğer ilk basamak doğal sayıların sonsuzluğuna (bildiğimiz en küçük sonsuzluk) karşılık geliyorsa, reel sayıların sonsuzluğu hangi basamakta yer alır? Bir sonrakinde mi? Yoksa çok daha yukarılarda mı?

Onlarca yıl süren araştırmaların ardından bu soru yanıtlandı; ancak bu, matematikçilerin beklediği şekilde olmadı. Her zamanki matematiksel aksiyomlar (Zermelo-Fraenkel teoriyi seçim aksiyomuyla bir araya getirdi) dahilinde sorunun yanıtlanamayacağı gösterildi. Matematiğin genel kabul görmüş temel kuralları bir cevap belirlemez.

Seçim aksiyomu olmayan matematik

“Peki seçim aksiyomunu dışarıda bırakırsak ne olur?” Chan sordu. Bunu yaparken 1960’larda geliştirilen fikirlerden yararlandı. Seçim aksiyomu yerine belirlilik aksiyomu (seçim aksiyomu ile bağdaşmayan farklı türde bir düzenlilik ilkesi) ile çalışılabileceği zaten gösterilmişti.

Belirlilik aksiyomu, eğer iki oyuncu sonsuz uzunluktaki bir süreçte belirli kurallara uyarsa ve birlikte sonsuz bir sayı dizisi üretiyorsa, o zaman içlerinden birinin her zaman oyunun sonucunu etkilemesine olanak tanıyan bir stratejiye sahip olması gerektiğini söyler. Bu, seçim aksiyomundan biraz daha teknik ve daha az sezgisel olabilir, ancak aynı zamanda matematiksel bir yapı da sağlar.

Seçim aksiyomundan ziyade belirlilik aksiyomuna dayanan bir matematiksel sistemde, yeni sonsuz kümelerin diğer sonsuz kümelerden nasıl ortaya çıktığı araştırılabilir.

Tipik bir yapı, bir kümeden diğerine olası tüm eşlemelerin dikkate alınmasıdır. Örneğin gerçek sayılar, ondalık basamağı sonsuz sayıda olan sayılar olarak düşünülebilir. Her ondalık konumda, 0’dan 9’a kadar 10 olası basamak vardır ve bu tür sonsuz sayıda konum vardır. Yani her doğal sayı için bir kez olmak üzere 10 rakamdan birini tekrar tekrar seçiyoruz. Bu anlamda gerçek sayılar 10 olasılık arasından sonsuz sayıda seçenekten ortaya çıkar. Sembolik olarak konuşursak, 10 üzeri alef-sıfırın kuvveti sürekliliğin önem derecesini verir.

10 basamaklı sonlu kümeyi alıp onu sonsuz bir kuvvete yükseltmek yerine, bir sonsuz kümenin başka bir sonsuz kümenin kuvveti de alınabilir. Aralarındaki sonsuz sayıda olası eşleme, yeni sonsuzlukları tanımlar.

Sonsuzlukları sıralamak: Bir çizgi üzerinde değil, bir harita üzerinde

Chan şimdi şunu sordu: Peki ya tüm bu sonsuzlukları tek bir sıraya yerleştirmeye çalışmazsak, bunun yerine onları haritadaki noktalar gibi iki boyutlu bir şemada düzenlersek?

A, B, C ve D farklı sonsuzluklar olsun. A’yı B kuvvetiyle, C’yi D kuvvetiyle karşılaştırabilir miyiz? Chan, buna bağlı, diyor. A, C’den büyükse ve B, D’den büyükse karşılaştırma basittir: A’nın B kuvveti daha büyüktür.

Peki daha küçük bir şeyi daha büyük bir şeyle, daha büyük bir şeyi daha küçük bir şeyle karşılaştırırsak ne olur? Hangisi daha büyük?

Chan’ın cevabı şu: Bu iki boyutun hiçbir şekilde karşılaştırılabilir olmasına gerek yok. Bu sonsuzlukların tek bir doğrusal sıralaması yoktur; bunların iki koordinat kullanılarak tanımlanması gerekir. A ve B sonsuzluklar haritasında bir noktayı tanımlar; C ve D başka birini tanımlar.

Ve dikkat çekicidir ki, tek bir “sonsuzluklar merdiveni” fikri terk edildiğinde, sonsuzluklar cebiri aniden çarpıcı derecede basit hale gelir ve zengin bir yapıyı ortaya çıkarır. Sonsuzluklar hakkında zaten bilinen sonuçlar, çelişkiler yaratmadan bu haritaya dahil edilebilir. Seçim aksiyomu ve onunla birlikte evrensel sonsuzluklar merdiveni fikri bir kenara bırakıldığında tüm bunlar mümkün hale gelir.

Bu, sonsuz kümelerin boyutlarına ilişkin asırlık bilmeceyi çözüyor mu? Muhtemelen çok uzun bir süre için değil. Chan, “Fakat bu, sonsuz kümelerin nasıl organize edilebileceğine dair son derece basit ve verimli yeni bir düşünme yöntemidir” diyor.