Tek bir matematiksel çerçeve, bir sıvının ve içindeki ayrı ayrı parçacıkların hareketini tanımlayabilir mi? İlk olarak 1900’de sorulan bu soru, şimdi atmosferin ve okyanusların karmaşık davranışını anlamamıza yardımcı olabilecek bir çözümü var.
Sıvıları anlamak, farklı ölçeklerde çalışan matematiksel araçlar gerektirir
Matematikçiler nihayet farklı ölçeklerde parçacıkların hareketlerini yöneten fizik yasalarını birleştirmeyi başardılar. Çabaları, 20. yüzyılın tüm matematikçileri için iddialı bir programın bir parçası olarak matematikçi David Hilbert tarafından 1900 yılında belirlenen bir soruyu çözüyor ve atmosfer ve okyanuslardaki sıvıların karmaşık davranışını anlayamamızı derinleştirebiliyor.
“Bu benim görüşüme göre önemli bir sonuç. Tamamen ulaşamayacağı düşündüm ”diyor Fransa’daki Lyon Üniversitesi’nden Benjamin Texier.
Özellikle, Michigan Üniversitesi ve meslektaşları Zaher Hani, fiziksel yasaların üç farklı ölçekte tutarlı ve anlamlı bir şekilde nasıl bir araya geleceğini gösterdiler. Birincisi, Isaac Newton’un hareket yasalarına uygun olarak birbirleriyle çarpışan tek parçacıkların mikroskobik alanı vardır. Daha büyük nesnelerin mezoskopik aleminde, bu tür parçacıkların koleksiyonları Ludwig Boltzmann’ın öncülük ettiği istatistiksel yasaları takip eder. İkamet ettiğimiz daha büyük ölçekli makroskopik ölçekte, fizikçiler, bir sıvının nasıl davrandığının tüm karmaşıklıklarını yakalayan Navier-Stokes denklemi gibi kötü şöhretli zor matematiksel araçlara yönelir.
Yıllar boyunca, fizikçiler ve matematikçiler üç çerçeve arasında bazı bağlantılar kurdular, ancak şimdiye kadar asla tam olarak birleşmediler. Bunu yapma arayışı 19. yüzyılda başladı, diyor Hani, Boltzmann’ın istatistiksel tekniklerini sunduktan ve çağdaşları, gerçekten çalıştıklarına dair titiz bir matematiksel kanıt için istila etti. Bu nihayetinde, Hilbert’in gündemindeki altıncı soruna dönüştü, bu da en temel, çıplak kemik matematiksel aksiyomlarından sıvıların davranışını dikte eden yasaların türetilmesini gerektiriyordu.
Bunun bu kadar arzu edilmesinin bir nedeni, Chicago Üniversitesi’ndeki ekip üyesi Yu Deng, bu yasaların bazılarının zaman içinde geri dönüşümlü olması ve bazılarının olmamasıdır. Örneğin, Newton yasaları, “önce” ve “sonra” değiştirilebilir hale getiren zamanın akışının yönüne duyarlı değildir, Boltzmann’ın istatistiksel denklemleri ikisini sınırlamanın bir yolunu önermektedir. Deng, ekibinin yarım on yıldan fazla bir süredir devam eden çalışmalarının, bu anahtarın ne zaman ve nasıl gerçekleştiğini açıkladığını ve zamanla ilgili bir matematiksel paradoks olasılığını ortadan kaldırdığını söylüyor.
Ekibin yaklaşımının önemli bir bileşeni, bunları kuantum alan teorisindeki sorunlarla mücadele etmek için kullanan fizikçi Richard Feynman tarafından kaynaklanan diyagramlar açısından hesaplamaların yeniden düzenlenmesine dayanmaktadır. Matematikçiler, bir sıvıda olduğu gibi birbirleriyle tekrar tekrar etkileşime giren parçacıklar için zor denklemlerle başa çıkmak için bu diyagramları kullanmayı öğrendiler, ancak Hani bunun ezici olabileceğini söylüyor. Bunun yerine, ekip tam olarak hesaplamak zorunda oldukları diyagram sayısını azaltmanın bir yolunu buldu, bu da Newton yasalarından Navier-Stokes denklemine açık bir matematiksel yol oluşturmalarına izin verdi.
Texier, Hilbert’in altıncı probleminde uzun bir kısmi çözüm geçmişi olsa da, yeni çalışmanın “gerçek bir sıçrama” olduğunu ve Hilbert’in sorunu ve Boltzmann’ın orijinal çalışmasının arkasındaki sezgiyi doğruladığını doğruladığını söylüyor. Başka bir deyişle: Yeni kanıt, fizikçilerin bir asırdan fazla bir süredir sıvı ve gazlar hakkında düşünme şeklini yeniden teyit ederken, sağlam bir matematiksel temeli garanti ediyor. Ancak Hani, ekibin çalışmalarının Hilbert’in görevindeki kitabı kapattığını hissetmediğini söylüyor.
“(Hilbert’in altıncı) sorununun önemi, gerçekten sadece fizik yasalarını aksiyomatize etmek değil, aynı zamanda bu (matematiksel) modellerin etkilerini anlamak açısından da. Bir noktada parçalandıklarını biliyoruz. Bence Hilbert’in (altıncı) sorunu için modern motivasyon, bu modeller kırıldığında ne olacağını anlamak açısından olmalı ”diyor.
Deng, daha fazla makroskopik sıvı denklemleri tekillikler geliştirdiğinde, diğer bir deyişle, çözümleri anlamsız hale geldiğinde, özellikle en küçük, çoğu mikroskopik ölçekte olanlarla özellikle ilgilendiğini söylüyor. Bu, oşinografi ve atmosfer bilimi alanındaki çok çeşitli durumlarda olabilir, ancak araştırmacılar artık iki ölçek arasındaki titiz bağlantıları nedeniyle kesin bir resim elde edebilirler.
Texier için, yeni çalışmanın tüm sonuçları henüz açık değil, çünkü bu çok zengin ve karmaşık bir matematik parçası. “Bence topluluğun onu sindirmesi çok çaba harcayacak” diyor.
