İki bağımsız yönde tekrarlanan desenlerle çevrili yapılar iki kat periyodik örgüler matematiksel bir meydan okuma oluşturur. Başlangıçta, dokuma tekstiller ve polimerlerin moleküler dokuma gibi gerçek dünya yapılarını modellemek için tasarlanan matematikçiler, teoriyi, pratik dokumanın ötesinde daha geniş bir topolojik çerçeveye uzanan herhangi bir sayıda farklı yöne sahip dokumaları içerecek şekilde genelleştirdiler.
Bununla birlikte, büyük bir engel, periyodik örgüleri tutarlı bir şekilde sınıflandırmak için uygun değişmezlerin eksikliği olmuştur. Geleneksel düğüm değişmezleri, özellikle farklı örgüleri ayırt etmek veya analiz için minimal birim tanımlamak için tekrarlayan desenlerin karmaşıklığını yakalamak için mücadele etmektedir.
2023 makalesinde Knot Teorisi Dergisi ve sonuçlarıSonia Mahmoudi ve AIMR iş arkadaşları geçiş matrisleri tanıttı ve sayıları geçiş kavramını periyodik yapılara uyarladı. Bu araçlar, hem iki eksenli hem de üç eksenli örgüleri ekleyerek, önceki yaklaşımlarda boşlukları köprülerek, iki kat periyodik olmayan örgülerin topolojik sınıflandırması için bir çerçeve sundu.
Mahmoudi, “Geçiş matrislerinin kullanımı, periyodik örgülerdeki geçişlerin sistematik olarak düzenlemesini kodlamamızı ve geçiş numaralarını minimal birim hücrelerinde hesaplamamızı sağladı.” “Bu, bu topolojik yapıları analiz etmek ve sınıflandırmak için sağlam bir kombinatoryal yöntem sağladı.”
Ekip bunu, bir örgünün toplam geçiş sayısını tam olarak hesaplayarak ve matris sıralarının ve sütunların döngüsel permütasyonları yoluyla örgü sınıflarını belirleyerek gösterdi.
Bu sonuçlar, daha esnek kumaşlar yaratmak veya özel özelliklere sahip nanoyapılar tasarlamak gibi materyal bilimlerinde ilerlemelerin yolunu açtı.
Gelecekteki araştırmalar, bu yöntemleri daha karmaşık periyodik dolaşıklıklara genişletmeyi, teknik kumaşlar, moleküler dokumalar ve metamalzemeler de dahil olmak üzere hem teorik hem de uygulamalı bilimlerde heyecan verici yeni olasılıklar açmayı amaçlamaktadır.
