PI’yi hesaplamanın uzun geçmişi neden asla tamamlanmayacak

Pi’nin tam değerini oluşturmak binlerce yıldır bir proje oldu, ancak bu sonsuz sayının ne kadarına ihtiyacımız var, matematik köşe yazarımıza soruyor Jacob Aron

Pi’yi hesaplayan ilk kişi kimdi? Bir dairenin çevresini çapına böldüğünüzde, beklenen ilk kişi, her zaman aynı sayıyı, yani 3’ten biraz daha fazla gibi görünüyorsunuz? Tabii ki asla tam olarak bilemeyiz, ancak yaklaşık 4000 yıl önce yaşadıkları makul bir varsayımdır.

Eski Mısırlılarla başlayalım. MÖ 1550 civarında bir papirüs, bir tür matematik ders kitabı gibi görünen 84 matematiksel problem için örnekler veriyor. Modern akademisyenler tarafından Rhind Matematiksel PapirüsAhmose adında bir yazar olan yazarı ona parlak başlığı verdi Tüm karanlık şeyleri bilmek için talimatlar.

Sorun 48, bir kare içindeki bir dairenin alanının nasıl hesaplanacağını açıklar. Meydanın 9 uzunluğunun kenarları olduğu ve dairenin çapı aynı olduğu varsayılarak, daire alanının karenin 64/81. olması gerektiğini gösterir. Meydanın 81’lik bir alana sahip olduğu göz önüne alındığında, çemberin 64 alanını yapan bu, Pi’nin doğrudan bir hesaplaması değildir, ancak bu durumda yarıçapın yarısı veya 9/2 olduğu bir daire alanı için modern formülümüze takılırsak – bu durumda 9/2 – bir kereste yer alıyoruz. Fena değil.

Ahmose, sorunların kendisini bulmuş gibi görünmüyor; Belge, yüzyıllar öncesinden kaynaklanan bir metinden bir kopya olduğunu belirtir. Eski Babiller ve Sümerlerden gelen eserlerde benzer olmasa da, aynı olmasa da benzer olmasa da, bu tür hesaplamaların evrensel olmadığı görülüyor – İbranice İncil ve Hıristiyan Eski Ahit, dairesel bir havuzu 10 küp genişliğinde ve Pi için 3 değeri gösteren 30 cubit olarak tanımlıyor. Bu bir başlangıç.

MÖ 3. yüzyılda yaşayan Archimedes’e kadar PI ölçümümüzü geliştirmeye başladık. Ahmose, Pi’yi hesaplamak için bir kare içine bir daire yerleştirirken, Arşimetler daha sofistike bir yaklaşım benimsedi. Çemberini bir altıgene ve sonra dairenin içine daha küçük bir altıgen içine koydu. İki altıgenin çevresini hesaplayarak, dairenin çevresine üst ve alt bir sınır yerleştirebilir ve böylece PI için minimum ve maksimum değer bulabilir.

Ama işte akıllı bir şey – Arşimetler altıgenlerle durmadı. Aynı hileyi Dodecagons veya 12 taraflı çokgenlerle yaptı, daha sonra 24 taraflı, 48 taraflı ve son olarak 96 taraflı şekillere taşındı. Yan sayısının her iki katına çıkma, çokgenleri bir daireye yaklaşmaya yaklaştırdı, sonuçta 223/71 ve 22/7 veya 3.1408 ve 3.1429 arasında bir Pi değeri verdi. Şimdi iki ondalık PI yeriniz vardı – ve 22/7, bugün hala kullanılan değeri için ortak bir yaklaşım olarak tanıyabilirsiniz.

Yaklaşık 1500 yıldır, Archimedes’in yöntemi şehirdeki tek oyundu, ancak insanlar PI tahminlerinin doğruluğunu artırmayı başardı. Bunlar, MS 5. yüzyılda, 3.1415926 ve 3.1415927 arasında yaklaşık Pi için 24.576 taraflı bir poligon kullanan Çinli matematikçi Zu Chongzhi’yi ve 1424’te 800 milyonun 16 on kararsız bir şekilde hesaplanan bir Pi Matematikçisi olan Jamshid al-Kashi’yi içerir. El-Kashi’nin o zamanki amacı, göksel kürenin çevresini (esasen, o zaman bilinen evren) tek bir at kılı genişliğinden daha büyük olmayan bir hata ile hesaplayabilmekti.

Matematik tarihleri, Pi’ye giden yolun bir sonraki adımı olarak Isaac Newton ve Gottfried Leibniz tarafından doğrudan Arşimet’ten, 17. yüzyıldan kalma buluşuna doğru atlayacak, ancak önemli bir gelişme daha erken geldi. Sangamagrāma’nın 14. yüzyıl Hintli matematikçi Mādhava, bir üçgende açıları hesaplamak için araçlar olarak bilebileceğiniz kosinüs ve sinüs gibi ilk trigonometrik fonksiyonları ifade eden ilk kişiydi-sonsuz miktarda. Bu, serideki bir sonraki terimi hesaplayarak, sürekli artan doğrulukla adım adım hesaplamasına izin verdi.

Bu toplamlardan biri, şimdi bazen bağımsız keşifleri nedeniyle Mādhava-leibniz serisi olarak bilinen π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9… vb. Bu seri Pi’de birleşiyor, ancak inanılmaz derecede yavaş – dört ondalık basamağa ulaşmak, 5000 terim eklenirken, 10 ondalık basamak 5 milyar öğütüyor. Neyse ki, Mādhava çok daha hızlı çalışan alternatif sonsuz meblağlar geliştirdi, Pi’yi 11 ondalık basamağa hesapladı-El-Kashi onu yenene kadar bir rekor.

Pi’nin kalem ve kağıt keşfi önümüzdeki birkaç yüzyıl boyunca devam etti. Dikkate değer bir girişim, hayatının çoğunu soruna geçiren Alman matematikçi Ludolph van Ceulen’inkidir. 1596’da Pi’yi 20 milyardan fazla bir çokgen ile Archimedes’in yöntemini kullanarak 20 ondalık basamağa hesapladı ve 1621’de ölümünden sonra, karısı 35 dükkanlılığının detaylarını 4 quintillion tarafı bir çokgen kullanarak yayınladı. Bu değer mezar taşına da yazılmıştır.

Kısa bir süre sonra, hesapların gerçekten ileriye doğru yol olduğu ve PI’ye yaklaşmak için her türlü sonsuz meblağın yaratılmasına izin verdiği anlaşıldı. 1666’da Newton bir tane buldu ve Pi’yi 15 ondalık basamak için hesaplamak için kullandı, daha sonra “Bu hesaplamaları kaç figürü taşıdığımı, o zaman başka hiçbir işi olmadığını söylemekten utanıyorum”.

İngiliz matematikçi John Machin, 1706’da kendi yaratılışının toplamını kullanarak 100 hastalıklı engeli ilk kırdı. Bundan sonra, bu sonsuz toplam tabanlı hesaplamalar giderek hataya eğilimli idi-Fransız matematikçi Thomas Fantet de Lagny, Machin’e benzer bir yöntem kullanarak 1719’da 127 ondalık yer yayınladı, ancak sadece ilk 112’si doğru olduğu ortaya çıktı. Daha sonra kayıt 1789’da 126’ya ve 1841’de 152’ye kadar sürdü, hatalar çıkarıldıktan sonra.

Amatör bir İngiliz matematikçisi olan William Shanks, Machin’in formülünden meyve suyu sıkan kalem pushers’ın sonuncusuydu. Shanks bir yatılı okulu yönetti, ancak boş zamanını hesaplamaya adadı. 1853’te son üçü yanlış olmasına rağmen, 530 ondalık basamağını Pi yayınladı. Daha sonra bunu 1873 yılına kadar 707 ondalık basamağa uzattı. Ne yazık ki, daha önceki hatasını almamıştı, yani ekstra rakamların çoğu da yanlıştı.

Bununla birlikte, Shanks’ın 527-farklı kaydı bilgisayarın icadı olana kadar dövülmez-neredeyse, neredeyse. 1946’da bir DF Ferguson dergiye yazdı Doğa Shanks’ın hesaplamalarındaki hataları belirtmek için. Bu, heyecan verici bir şekilde başlıklı dergide Ferguson’dan bir kağıt telaşına yol açtı Matematiksel tablolar ve hesaplamaya diğer yardımlar O ve John W. Wench, JR, doğru değerleri hesaplamak için, sonunda 808 ondalık basamağa ulaşan bir mekanik hesap makinesi-bir proto-bilgisayar kullandı.

Gerçek bir modern bilgisayarda PI’nin ilk hesaplaması, kelimenin tam anlamıyla yapılan ilk şey kullanılarak gerçekleştirildi – elektronik sayısal entegratör ve bilgisayar veya iniac. (Tam olarak neden ilk modern bilgisayar olarak nitelendiriliyor, tamamen ayrı bir makale, bu yüzden lütfen benim sözümü al!)

[1945yılındaABDOrdusutarafındaninşaedilenEniactermonükleersilahınetkilerininhesaplanmasıdadahilolmaküzerebirdiziayıkgöreviçinkullanıldıAncak1949’daünlüpolimatJohnvonNeumann’ınliderliğindekibirtakımPItabanlısayıkırmaiçinkullanmaiznialdıGenişletilmişİşçiBayramıhaftasonu(bilgisayaraksitakdirdekullanılmayacağızaman)70saattenfazlayürütülençabaları2037ondalıkbasamağaçarptı

Bilgisayarlar ilerledikçe, 100.000, 1 milyon, 10 milyon – rekor kırmaya devam ettiler, ancak 1970’lere kadar hepsi Machin’in yönteminin varyantlarını kullandılar.

The late 20th century saw a flurry of new formulas developed, each using more complex infinite sums than Machin, and many were inspired by an infinite sum dreamt up by the legendary Indian mathematician Srinivasa Ramanujan in 1910. Ramanujan’s approach to mathematics was unorthodox – his results, while usually correct, weren’t always rigorously proven – and it seems that his formula was forgotten for onlarca yıl. Ayrıca, Göz ardı edilmesine katkıda bulunmuş olabilecek herhangi bir Pi basamağını hesaplamak için kullanan hiçbir kaydı yoktur.

Bununla birlikte, matematikçiler işini ortaya çıkardığında, Pi avını turboşarladı. Özellikle notu, 1988’de iki kardeş Gregory ve David Chudnovsky tarafından oluşturulan Ramanujan’dan ilham alan bir yöntemdir.

Çiftin yöntemi bugün hala kullanılıyor; En son kayıt Haziran 2024’te bir bilgisayar donanımı test yayını olan Storagereview tarafından belirlendi. Ekip, her biri 60 terabayt (TB) depolama kapasitesine sahip 28 katı hal sürücüsü olan bir bilgisayar kullanarak rekor 202 trilyon ondalık basamağa ulaştığını söylüyor – ortalama bilgisayarın artık yaklaşık 1 TB’lik bir sürücüsü var. Hesaplama toplam 85 gün sürdü.

Bu noktada, herkesin ne kadar daha fazla PI’ye ihtiyacı olabileceğini merak ediyor olabilirsiniz. Birkaç düşünce okulu var. Herhangi bir pratik hesaplama için, Al-Kashi, 16 ondalık yeri ile çok uzak değildi, çünkü iki katından biraz daha fazla-37 ondalık bölge-gözlemlenebilir evrenin çevresini bir hidrojen atomunun genişliğine eşdeğer bir doğrulukla hesaplamak için yeterli olduğu ortaya çıktı.

Ancak StoraGereview’in girişiminin gösterdiği gibi, Pi’nin hesaplanması başka bir amacı üstlendi: bilgi işlem donanımını adımlarına koymak için bir tür maraton numarası krizi olarak hareket etmek. Bunu göz önünde bulundurarak, anlamlı bir şekilde hesaplayabileceğiniz ondalık yerlerin sayısında potansiyel olarak bir sınır yoktur.

Ve yine de başka bir görüş var. Bu makalenin başında Pi’yi hesaplayan ilk kişinin kim olduğunu sordum. Bir anlamda cevap kimse değil, çünkü hiç yapılmadı. PI mantıksız bir sayıdır, yani iki tamsayının oranı olarak ifade edilemez, bu yüzden 22/7 sadece bir yaklaşım olabilir. Aynı zamanda aşkın bir sayıdır, yani sonlu bir cebirsel denklem olarak ifade edilemez. Bu, Pi’nin doğası gereği sonsuz olduğu, ondalık yerlerinin hiç bitmeyen olduğu ve Pi’nin gerçek değerini asla tam olarak hesaplayamayız.