Kuantum Latin kareleri Euler’in 36 subay problemini dolaşma olmadan çözemez

Latin kareleri, her sembolün her satır ve sütunda tam olarak bir kez göründüğü bir ızgaradaki sembollerin düzenlenmesidir. İlk olarak üç yüzyıldan fazla bir süre önce incelenen bu sembol düzenlemeleri, artık deneysel tasarımları optimize etmek ve güvenli kriptografik sistemler, bulmacalar veya diğer karmaşık kombinatoryal yapıları geliştirmek için yaygın olarak kullanılmaktadır.

1782’de İsviçreli matematikçi Leonhard Euler, 36 subay problemi olarak bilinen, Latin karelerine dayanan ünlü bir matematik problemi tasarladı. Bu sorun, altı alaydan ve altı rütbeden 36 subayın 6’ya 6’lık kare bir ızgarada düzenlenmesini ve her sıra ve sütunun, her alaydan ve her rütbeden bir subay içermesini sağlamayı gerektirir.

Euler’in bu problemi ortaya koymasından sonraki yüzyıllarda matematikçiler bu problemin klasik yaklaşımlarla çözülemeyeceğini gösterdiler. Daha yakın zamanlarda teorisyenler, sıradan Latin karelerindeki tek tek sembolleri olası kuantum sistemi durumlarının matematiksel tanımlarıyla değiştirerek bu problemin kuantum versiyonlarını ortaya çıkardılar.

Katalonya Politeknik Üniversitesi’ndeki araştırmacılar, kuantum Latin karelerinin, dolanıklığa (yani, iki veya daha fazla parçacığı birbirine bağlayan ve birinin durumunu anında diğerlerinin durumunu belirleyecek şekilde bağlayan bir kuantum fenomeni) dayanmadan 36 memur problemini çözmek için kullanılıp kullanılamayacağını araştırmaya koyuldu.

Makaleleri şu tarihte yayınlandı: Fiziksel İnceleme Mektuplarıproblemin kuantum versiyonunu çözmek için dolaşıklığın gerekli olduğunu gösteriyor.

“Euler’in 36 subay sorununa yönelik olarak Pretty ve arkadaşlarının bir makalesinde önerdiği son kuantum çözümünü daha iyi anlamak istedik.” Makalenin ilgili yazarı Robin Simoens CEİD’a söyledi.

“İlginç bir şekilde, bu çözümün işe yaraması için, memurların sıralarının birbirine bağlı olarak aynı anda birden fazla değer alması gerekiyor. Bu bağımlılığa dolaşma denir. Dolaşma komplikasyonunu gerektirmeyen daha basit bir ‘arada’ çözüm olup olmadığını bilmek istedik. Bu, bir kareye birden fazla sayı yazmanıza izin verilen bir Sudoku ile karşılaştırılabilir.”

Pratik açıdan bakıldığında, Euler problemine dolanıklığa dayanmayan bir kuantum çözümü, daha düşük kapı derinliğine sahip devreler kullanılarak belirli bir durumun üretilmesini mümkün kılacaktır. Ancak Simoens ve meslektaşı Simeon Ball, matematiksel olarak böyle bir çözümün mevcut olmadığını gösterdi.

36 memur sorununa kuantum çözüm

Araştırmacılar altı satır ve altı sütundan oluşan iki Latin karesini değerlendirdiler. Her karede altı sembol vardı ve her sembol her satırda ve her sütunda bir kez yer alıyordu. Belirledikleri başka bir koşul da, iki Latin karesinin dik olmasıydı; bu, bunların üst üste bindirilmesinin, mümkün olan her sıralı sembol çiftini tam olarak bir kez üreteceği anlamına geliyordu.

Karelere sıradan semboller yerleştirmek yerine, kuantum durum uzayındaki vektörlerle matematiksel olarak temsil edilen kuantum durumlarını eklediler. Daha sonra, karelerdeki kuantum durumları dolaşık olmasaydı, karşılıklı olarak dik iki kuantum Latin karesinin var olup olamayacağını belirlemeye çalıştılar.

Simoens, “Soruna kombinatorik alanından yaklaştık” diye açıkladı.

“İlk olarak, iki kuantum Latin karesinden birinin klasik olduğunu varsayabileceğimizi gösterdik. Bu en zorlu adımdı ama aynı zamanda kanıtın çok eğlenceli bir kısmıydı çünkü çok zor bir Sudoku bulmacasını çözmek gibiydi. İkincisi, problemi grafik teorisindeki bir probleme indirgedik: Latin kare grafiğinin ortonormal bir temsili var mı? Grafik teorisinde bu problemin bir çözümü olmadığını göstermek için bir bilgisayar algoritması kullandık.”

Ekibin matematiksel kanıtı, altı satır ve altı sütundan oluşan karşılıklı dik kuantum Latin karelerinin dolaşıklık olmadan var olamayacağını gösteriyor. Önceki çalışmalar Euler’in 36 subay probleminin kuantum versiyonunu zaten ortaya koymuş olsa da, bu çalışma, dolaşmanın bunu çözmek için gerekli olduğunu gösteriyor.

Simoens, “Çarpım dik kuantum Latin karelerinin varlığına ilişkin son açık vakayı çözdük” dedi. “Bu tür çiftlerin altı hariç tüm boyutlarda var olduğu biliniyordu ve çalışmamız, altı boyutta varlığın kuantum rejiminde bile istisnai kaldığını gösterdi. Dolayısıyla sonucumuz, Tarry’nin altıncı dereceden birbirine dik iki Latin karesinin var olmadığına dair kanıtının kuantum versiyonu olarak görülebilir.”

Gelecekteki kombinatorik araştırmalarına bilgi vermek

Ball ve Simoens tarafından toplanan sonuçlar, dolanıklığın kuantum matematiğindeki hayati rolünü vurguluyor ve bu kuantum olgusunun, klasik yaklaşımlar kullanılarak üretilemeyen matematiksel yapılara olanak sağladığını gösteriyor. Ayrıca kuantum Latin karelerinin bu yapıları yeniden üretebileceği örneklere daha kesin sınırlar koyuyorlar.

Bu çalışma, kuantum Latin karelerinin anlaşılmasına katkıda bulunuyor ve yakında kombinatorik alanında gelecekteki araştırmalara ışık tutabilir. Bu, belirli kurallara göre nesnelerin sayılmasını, düzenlenmesini ve seçilmesini gerektiren problemlerin çözümüne odaklanan bir matematik dalıdır.

Simoens, “Kuantum kombinatorikte yeni sonuçları keşfetmek için hala çok yer var gibi görünüyor” dedi. “Şu anda daha yüksek boyutlarda karşılıklı dik kuantum Latin karelerinden oluşan geniş kümelerin yapılarına bakıyoruz. Tercihen, kuantum süperpozisyonunun, güçlü dolaşma fenomenini kullanmadan bile klasik sonuçlardan daha iyi performans gösterdiği bir örnek bulmak istiyoruz.”