Dönen bir iğne tarafından hangi şekiller yapılır? Bu görünüşte masum problem onlarca yıldır matematikçileri şaşırttı, ancak şimdi yeni bir kanıt, bu yüzyılın en büyük sonucu olarak adlandırılıyor, çünkü diğer birçok zor problemin çözülmesine yardımcı olabilir
Bir dönen iğne (turuncu) tarafından izlenen en basit şekil bir dairedir, ancak bir iğneyi döndürerek oluşturulan deltoid (sağ) gibi daha küçük bir alana sahip şekiller mümkündür.
Matematikçiler, son zamanlarda en önemli matematiksel sonuçlardan biri olarak selamlanan bir iğneyi döndürme ile ilgili onlarca yıllık bir sorunu çözdüler. Bir kez “imkansız” olarak görüldüğünde, çözüm şimdi tamamen ulaşılamayan diğer zor problemlerin cevaplarının kilidini açmalıdır. Teksas, Houston’daki Rice Üniversitesi Nets Katz, “Makale belki de şu anki yüzyılın matematiğindeki en büyük atılımdır” diyor.
Sorun kökenleri 1917’de, Japon matematikçi Sōichi Kakeya, iğneyi herhangi bir yönde ileri geri hareket ettirmenize izin verilirse, bir iğneyi 360 derece döndürmeniz gerektiğini sordu.
Açık bir çözüm sadece iğneyi döndürmek, bir daire süpürmektir, ancak matematikçiler kısa süre sonra, sıkı bir park noktasına girmek için bir arabayı kıpırdatmaya benzer şekilde karmaşık yollarla manevra yapmanın, iğneyi çok daha küçük şekillerde döndürmenizi sağlar (yukarıya bakınız).
Matematikçiler daha fazla araştırmaya başladığında, bazı garip sonuçlar buldular. Örneğin, gerçek bir iğne kullanacak olsaydınız, tıpkı daha büyük bir arabanın park edilmesi daha zor olduğu için kalınlığı önemli olur. Bu nedenle, matematikçiler sonsuz ince bir iğne sorusunu düşündüler ve onu döndürmek için gereken en küçük şekil alanının tanımlanmış bir uzunluğa sahip olmasına rağmen sıfır olduğunu buldular.
Bu tür şekiller hakkında ortaya çıkan bir soru, hangi boyutta sahip olduklarıdır. Kareler ve küpler gibi geleneksel şekiller sırasıyla iki ve üç boyutlu olsa da, fraktallar gibi yabancı şekiller arasında bir yere düşen boyutlara sahip olabilir. Kakeya varsayımı olarak bilinen bir soru, iğnenin manevraları tarafından izlenen şeklin boyutunun her zaman hareket ettiği alanla aynı olup olmayacağını sorar.
Massachusetts Teknoloji Enstitüsü’nden Larry Guth, “Bunu ilk duyduğumda çok sezgisel görünüyordu” diyor. “Doğru olması gerekiyor gibi görünüyordu, ama sonra kanıtlanması çok zor.”
Tek boyutlu durumun kanıtlanması kolaydı, çünkü 1D’deki bir iğne hiç dönemez. 1970’lere kadar İngiltere matematikçisi Roy Davies, Kakeya varsayımını iki boyut için kanıtladı, ancak üç boyutlu vaka o zamandan beri matematikçilerin en iyi çabalarına direndi.
Şimdi, British Columbia Üniversitesi’ndeki Joshua Zahl ve New York Üniversitesi’ndeki Hong Wang, şüpheli olarak, iğnenin geçtiği hacmin de 3D olması gerektiğini göstererek çatladı.
Zahl, “Çok heyecanlanmanıza izin vermek istemiyorsunuz, çünkü birçok matematikçi, hayatlarının bir noktasında ciddi bir sorun çözdüler” diyor. “Geçmişte belki bir öğleden sonra Kakey varsayımını çözdüm ve daha sonra bu sadece bir boru rüyasını fark ettim.”
Katz ve meslektaşları daha önce Kakeya varsayımına üç boyutta çözümün üçe yakın olması gerektiğini göstermişlerdi, ancak bunun tam olarak üç boyut olduğunu doğrulayamadılar. Ancak, Zahl ve Wang’ın rehber olarak kullandıkları nasıl kanıtlayabileceğiniz için bir strateji geliştirdiler. Katz ile çalışan Los Angeles California Üniversitesi’nden Terence Tao, “Bu yöntemden gerçekten çok daha fazla meyve suyu sıktılar, inanılmaz” diyor.
Bir iğneyi döndürerek üretilen birçok garip şekilden biri
Bu strateji önce, hareket ettiği alandan daha az bir boyuta sahip bir iğne hareketi örüntüsünü hayal etmeyi içeriyordu. Çift daha sonra bu hayali karşı örneklerin her zaman aşırı, titiz özelliklere sahip olması gerektiğini gösterdi. Zahl ve Wang daha sonra bu özelliklerin bilinen, kanıtlanmış teoremlerle çeliştiğini bulmuşlardır-bu nedenle karşı örnekler mümkün olmadan, Kakeya varsayımı doğru olmalıdır.
Katz, “Çeşitli teknikler tarafından, çoğu sadece mütevazı kısmi sonuçlar elde eden bir dizi önde gelen figür tarafından saldırıya uğrayan bir sorunu tamamen çözüyor” diyor.
Bu uzun ömürlü sorunu kırmanın memnuniyetinin yanı sıra, Kakeya varsayımını kanıtlamak, matematikçilerin Zahl ve Wang tarafından geliştirilen matematiksel araçları kullanarak ilgili sorunları çözmesine yardımcı olacaktır. Tao, “Analiz alt alanımda kesinlikle 10 yıldaki en büyük ilerleme” diyor. “Bu varsayım, imkansız görünen bu sorun ailesinin bir parçası.”
Guth, bu sorunları cevaplamak, genel görelilik veya harmonik analiz gibi alanlardaki en büyük soruların bazılarının açılmasına yardımcı olabilir, diyor Guth. Kanıt, matematikteki en meşhur çözülmemiş problemlerden biri olan Riemann hipoteziyle başa çıkarak ana sayıların kökenini ortaya çıkarmaya bile yardımcı olabilir.
Tao, “Kakeya varsayımı, (Riemann hipotezi) olanların sadece küçük bir bileşenidir, ancak birçok engelden biriydi ve şimdi gitti, şimdi birçok şey kilidini açtı” diyor Tao. “Sadece umutsuz olduğu düşünülen sayı teorisi, kısmi diferansiyel denklemler, kombinatorikler ve benzeri bu zor problemlerin tüm bu ağacında yıllarca ve yıllar süren faaliyetleri öngörüyorum, şimdi çok zor görünüyorlar.”
