Susanna Heikkilä tarafından çözülen matematiksel bir problem, dört boyutlu euclid geometrisi deformelanarak dört boyutlu şekillerin elde edilebileceğini sorarak quasiregüler eliptik 4-manifoldların sınıflandırılması ile ilgilidir. Heikkilä ve Pekka Pankka’nın makalesi şurada yayınlandı. Matematik Annals dergi.
1981’de Abel Ödülü’nü kazanan Rus-Fransız matematikçisi Misha Gromov, hedefin basitçe bağlanması durumunda, temel grubunun önemsiz ve bir engel oluşturmadığı anlamına gelir. Soru, Prywes’in dört boyutlu bir karşı örnek verdiği 2019’a kadar açık kaldı.
Doktora sonrası araştırmacı Susanna Heikkilä, “Doktora tezimin ana sonucu Gromov’un sorusunun cevabını tamamlıyor, çünkü sonuç, bir Öklid boşluğundan quasiregüler bir eşleme olan kapalı bağlı dört boyutlu manifoldları sınıflandırmak için kullanılabilir” diyor.
Hobileri örgü içeren Heikkilä, konuyu örülmüş kumaştan da gösterir. Örgü, araştırmasını meslekten olmayanların şartlarında tanımlamak istediği kamuoyu incelemesi için tamamlandı.
El işi, uçaktan Alexander haritası olarak bilinen bir küreye eşlemeyi gösterir. Heikkilä farklı renklerde örgü yamaları ördü ve onları köşelerde farklı renklerde kareler bulunan bir satranç tahtası desenine monte etti. Ayrıca farklı renkli üst ve alt hemisferlere sahip bir top gerekiyordu. Satranç ızgarası, birbirine bağlı renkli köşelerle topun etrafında kıvrıldığında, kareler arasında bir boşluk kalır. Bu, quasireegüler eşlemeler fikrini özetler: boşluklar kumaşı gererek kapatılabilir.
Matematikçi olmanın yolu
Matematik alanında bir kariyer, Heikkilä’nın genel ortaokuldaki zihninde henüz net değildi. Bununla birlikte, aynı zamanda bir matematik öğretmeni olan form öğretmeni yeteneğini tanıdı ve konuyu incelemeye devam etmesi gerektiğini önerdi, bu da Heikkilä Helsinki Üniversitesi’ndeki Kumpula kampüsünde sona erdi.
Profesör Pankka tarafından verilen bir topoloji dersinde sadece ikinci çalışmasında, Heikkilä gerçekten matematikle ilgilenmeye başladı. Bu, başarılı makalede sonuçlanan işbirliği yıllarına başladı.
Heikkilä’nın lisansüstü çalışmalara devam etmeyi amaçladığı yüksek lisans sahnesinde açıktı, bu yüzden kalbini Pankka’nın gözetiminde ustanın tezini yazmaya gerçekten koydu. Tez, bir doktora tezi için ilk makale olarak kullanıma hazır olduğu için çaba harcandı.
Heikkilä’nın “Quasiregüler eliptik manifoldların kısıtlı kohomolojisi” başlıklı yüksek lisans tezi, Matematik ve Doğa Bilimleri Akademik Derneği tarafından her yıl sunulan Yüksek Lisans Tez Ödülü’nü kazandı – mal ve akademik mühendisler ve Finlandiya Tek Sendikası’ndaki akademik mühendisler ve mimarlar. Ödül, Fin toplumundaki bu bilimlerin önemini vurgulayarak matematik, fizik ve bilgisayar bilimi çalışmalarına dikkat çekiyor.
Heikkilä, “Destekleyici bir amir ve meslektaşlarına sahip olmak araştırmayı anlamlı hissettirdi. Akşamları evde matematik konuşmasak da eşimi aynı alanda buldum.” Diyor.
2025’in başında Heikkilä, Jyväskylä Üniversitesi’nde doktora sonrası araştırmacı olarak çalışmaya başladı ve quasireegüler eşlemeler ve eğriler teorisini incelemeye devam etmek istediği için daha fazla finansman için başvuruyor.
Quasireegüler eliptik problemler
Kuasikformal geometri, sonsuz bozulmanın nesnelerin şekli üzerindeki etkisini inceler. Quasireegüler eşlemeler, quasiconformal geometrideki soruları araştırır. Bu tür soruların klasik bir örneği, üniformizasyon teoremine dayanan aşağıdaki sonuçtur: tüm karmaşık düzlemden önemsiz olmayan bir holomorfik haritayı kabul eden tek Riemann yüzeyleri, iki boyutlu bir küre ve iki boyutlu bir torusdur.
Özellikle, daha yüksek cinsin yüzeyleri için böyle bir eşleme yoktur. Bu teorem, 1900’lerin başından itibaren Riemann yüzeyleri üzerindeki Poincaré ve Radón’un çalışmalarını takip ediyor. Bugün, bu sonuç Riemann yüzeylerindeki ders kitaplarındaki temel bilgiler arasında.
Özellikle ilginç olan şey, iki boyutlu konformal eşlemelerin sonucunun, incelenen şey, konformal olanlar yerine quasireegüler eşlemeler olsa bile değişmemesidir. Daha yüksek boyutlarda, konformal ve kuasikonformal geometri radikal olarak farklılaşır. MARTIO, Rickman ve Väisälä’nın 1971’den itibaren 1968’den Zorich’in teoremi ile birleşimi, Öklidey boşluğundan konformal bir harita olduğu daha yüksek boyutlardaki tek basit bağlı Riemann manifoldlarının kendisi ve eşit boyutun bir küresi olduğunu göstermektedir.
Buna karşılık, quasireegüler eşlemeler Öklid boşluğundan birkaç farklı boşluğa kadar bulunabilir. Bu tür manifoldlara “quasiregüler eliptik” denir.
1981’de Gromov, quasiregüler eliptik olmayan kapalı, basitçe bağlı manifoldların olup olmadığını sordu. Temel olarak Gromov, quasiregüler eliptik manifoldlara homolojik bir engel olup olmadığını sordu. Bu sorunun ilk kısmi cevabı, diferansiyel formların de Rham kohomolojisine dayanan bir kompaktlık argümanı kullanılarak Bonk ve Heinonen tarafından verildi.
Eden Prywes, 2019’da Gromov’un sorusunu kesin olarak cevapladı ve kapalı bir quasireegüler eliptik n-manifold’un K-The Rham kohomolojisinin en fazla N-Torus’un K-The Rham kohomolojisi olduğunu gösterdi. Bu sonuç, büyük de rham kohomolojisi ile kapalı manifoldların kekirgen olarak eliptik olamayacağı sonucuna yol açar.
“Heikkilä ile kanıtladığımız sonuç, Gromov’un sorusuna cebirsel bir cevap sağlar. Sözlü olarak, cevap aşağıdaki gibidir: kapalı bir manifoldun (homolojik açıdan) kavşakları (homolojik olarak), bir eucliean boşluğunun kesişimi, bir eucliean uzayda benzersiz bir şekilde gerçekçi bir şekilde gerçekçi bir şekilde gerçekçi bir şekilde gerçekçi bir şekilde gerçekçi bir şekilde gerçekleşmelidir. Profesör Pankka, kapalı N-manifold’un De Rham kohomolojisinden N-Boyutlu Öklid boşluğunun dış cebirine monomorfizm “diyor.
Bu cebirsel sonuç, quasiregüler eliptik olmayan küçük kohomolojiye sahip kapalı manifoldların olduğunu göstermek için kullanılabilir. Bu sonucu, Piergallini ve Zuddas’ın dallı kaplama temsillerinin yapımı ile birleştirmenin yanı sıra Donaldson ve Freedman tarafından kapalı 4-manifollerin sınıflandırılması, tam olarak bağlı olarak bağlı olarak bağlı olarak bağlı olarak bağlı olarak, tam olarak iki adet, iki adet, üçlü ve üçüncül up’tan oluşan üçlü, üç bağlantıya dayanan bir sınıflandırma sağlar. oryantasyon. Bu, Seppo Rickman tarafından kapalı Simply Connection quasiregular olarak eliptik 4-manifold üzerinde başlatılan araştırmayı sonuçlandırıyor.
