Neden küçük bir sosyal medya gönderisi matematikçilerin yapay zekayı yeniden düşünmesine neden oluyor?

Bu haftanın başında milyonlarca insan FIFA Dünya Kupası finalinin heyecanından aşağıya inerken, matematik camiasında farklı bir heyecan yükseliyordu. Yapay zeka (AI) şirketi Anthropic’te çalışan matematikçi Levent Alpöge, cebirsel geometri adı verilen bir matematik alanında çok eski ve iyi bilinen bir problem olan Jacobian varsayımına karşı bir karşı örnek bulduğunu X’te rastgele bir şekilde duyurdu (“merhaba jacobian varsayımı yanlış thanx”). Bunu, Anthropic’in yalnızca birkaç hafta önce halka sunulan geniş dil modeli Claude Fable 5’i kullanarak yapmıştı.

Bu, büyük dil modelleriyle çalışan matematikçiler tarafından gerçekleştirilen birçok çarpıcı matematiksel buluştan sadece sonuncusu. Ancak bu, daha önce gelenlerden biraz farklı geliyor.

Jacobian varsayımı nedir?

Öncelikle varsayım nedir? Bu, bazı matematikçilerin doğru olduğuna inandığı ancak kimsenin kanıtlayamadığı veya çürütemediği bir fikir.

Şimdi Jacobian varsayımına geçelim. Oldukça soyut ama tanımlanması çok zor değil.

Varsayım, bir veya daha fazla sayıyı içine koyduğunuz ve bazı kural veya denklemlere göre diğer sayıları çıkaran küçük makinelere benzeyen fonksiyonları içerir. Bu durumda fonksiyonlar polinom denilen şeyi kullanır.

Spesifik olarak, sayıların, haritadaki koordinatlar gibi, uzaydaki noktaları temsil ettiği durumlarla ilgilidir. Yani fonksiyonun bazı sayıları alıp bazılarını ortaya koyduğunda uzaydaki noktaları hareket ettirdiğini hayal edebiliriz.

Jacobian determinantı adı verilen bir şeyi hesaplayarak bir fonksiyonun uzaydaki her şeyi ne kadar “güzel” hareket ettirdiğini test edebilirsiniz. Jacobian determinantı her zaman sıfır olmayan sabit bir sayı ise, bu durumda fonksiyon hiçbir zaman uzayı belirli bir nokta etrafında katlamaz veya ezmez.

Jacobian varsayımı, Jacobian determinantı sıfırdan farklı bir sabit olduğunda, orijinal fonksiyonu tersine çeviren, yine polinomlardan oluşan başka bir fonksiyonun her zaman mevcut olması gerektiğini belirtir. Bu, tüm noktaları başlangıç ​​konumlarına döndürecektir.

Her fonksiyon geri döndürülemez. Örneğin başlangıç ​​fonksiyonumuz orijinal noktalardan ikisini tek bir noktaya taşıyorsa bunu tersine çeviremeyiz. Noktalar bir kez birleştirildiğinde, onları doğru konumlara geri gönderebilmek için aralarında ayrım yapamayız.

Uzun bir girişim ve başarısızlık geçmişi

Jacobian varsayımının iki boyutlu versiyonu 1884’te Çek matematikçi Ludwig Kraus tarafından belirtildi. 1939’da Alman matematikçi Ott-Heinrich Keller tarafından herhangi bir sayıda boyuta genelleştirildi.

O kadar ikna edici görüldü ki, Fields Madalyası sahibi Stephen Smale bunu 1998’deki Gelecek Yüzyılın Matematik Problemleri listesine dahil etti.

Uzun tarihi boyunca Jacobian varsayımı, 20. yüzyılın iki ünlü matematikçisi Beniamino Segre ve Wolfgang Gröbner’in de aralarında bulunduğu birçok iddia edilen kanıtın konusu olmuştur. Ancak her durumda, argümanları geçersiz kılan ince hatalar bulundu.

Buna rağmen, varsayımın çeşitli kısıtlamalarla doğru olduğunu gösteren bir takım geçerli çabalar da olmuştur. Hesaplamalı sonuçlar aynı zamanda bunun 100 dereceye kadar olan polinomlar için (yani 100’e kadar olan değişkenlerin kuvvetleri dahil) iki boyutta da doğru olduğunu göstermiştir.

Ancak hiç kimse genel durumu kanıtlayamadı ya da varsayımın yanlış olduğunu gösteren bir örnek bulamadı.

Aldatıcı derecede basit bir cevap

Jacobian varsayımının bu kadar ilgi çekici olmasının temel nedenlerinden biri, teoride bir karşı örnek bulmanın kolay olması gerektiğidir. Noktaları birleştiren fonksiyon örnekleri ve ayrıca sabit bir Jacobian determinantına sahip polinom eşleştirme örnekleri bulmak kolaydır.

Ancak her iki özelliği de içeren bir polinom eşlemesi bulmak zor bir iştir. Aslında, bir Math Stack Exchange kullanıcısının 2017’deki bir gönderide belirttiği gibi, “bildiğimiz kadarıyla, bazı akıllı lisans öğrencileri basitçe bir formül yazabilir… bu, bu varsayıma karşı bir örnek olacaktır.”

Gerçekten de, tek bir X direğine sığacak kadar kısa olan Alpöge’nin işlevi için de durumun böyle olduğu ortaya çıktı. Sabit Jacobian determinantı -2 olan ve birden fazla giriş noktasını aynı çıkış noktasına hareket ettiren, dolayısıyla tersinir olmayan, üç boyutlu bir fonksiyon örneği buldu.

Bu, iki boyuttaki orijinal varsayımın açık kalmasıyla birlikte, varsayımın 2’den büyük her boyut için yanlış olduğunu göstermektedir. Karşı örneğin kısalığı diğer matematikçilerin doğrulamasını kolaylaştırdı.

Büyüyen bir serideki son gelişme

Alpöge’nin keşfi, büyük dil modelleri tarafından gerçekleştirilen bir dizi yüksek profilli matematiksel atılımın en sonuncusudur. Son örnekler arasında OpenAI’nin birim mesafe varsayımının çürütülmesi ve Erdős’in 1196 probleminin 23 yaşındaki amatör matematikçi Liam Price tarafından kanıtlanması yer alıyor.

Her iki örnek de yapay zeka modellerinin en çarpıcı güçlü yönlerinden birini göstermektedir. Şaşırtıcı sonuçları kanıtlamak için matematiğin farklı alanlarındaki fikirlerden yararlanıp bunları yeni bir şekilde birleştirebilirler.

Bu yazının yazıldığı sırada Alpöge’nin yapay zeka modelini Jakoben varsayım karşı örneğini üretmeye nasıl teşvik ettiği ve çıktısının nasıl göründüğüne ilişkin ayrıntılar kamuya açıklanmamıştı. Ancak şu ana kadar bu sonucun farklı nitelikte olduğu görülüyor.

Yakın zamanda gerçekleşen diğer birçok yapay zeka destekli atılımın aksine, karşı örneğin kendisi son derece basittir. Bunu bulmanın zorluğu, karmaşık bir yapıda ya da uzun bir ispatta değil, doğru özelliklere sahip olanı bulmak için olası polinom eşlemelerinden oluşan muazzam bir arama uzayında gezinmenin iyi bir yolunu bulmakta yatıyor gibi görünüyor.

Bu, yapay zekanın kanıt oluşturmada olduğu kadar beklenmedik matematiksel nesneleri keşfetmede de değerli olabileceğini ortaya koyuyor. Bunun matematiğin ve insan matematikçilerin geleceği açısından ne anlama geleceğini zaman gösterecek.